Je précise : P(Xp ; Yp) fait parti du plan et n'est d'ailleurs situé que très rarement sur la spirale de Cornu.

Bonjour,

cela me semble un bon gros calcul de taupe.
La distance d entre P et la courbe est le minimum de PM, M un point de la courbe

Méthode 1) écrire cette distance, dériver pour avoir le minimum, résoudre
Méthode 2) soit M un point de la courbe, ecrire l'équation de la normale en M, et écrire que cette normale passe par P
Méthode 3) résoudre la question 2 et exprimer la condition sur d pour que Q soit réel

Question 2)
Intersection de la clothoide avec le cercle de centre P et de rayon d
Il y a donc jusqu'à 4 solutions (équation de degré 6 dont deux racines toujours imaginaires ?)
Ceci ote l'espoir d'avoir une solution exprimable simplement
Mais on peut toujours dire Q est solution de "(équation de degré 6 ou 4)"

Question 3) intégrer ds ds² = dx² + dy² pour x entre 0 et X
porter les solutions de 2 dans cette formule

Un petit dessin pour illustrer (a=1, mais c'est une question d'unités) :

A noter que la tangente en M est tracée par OH' = 2/3 OH

Quant à Newton je ne vois pas trop, il n'y a aucune valeur numérique, ou alors ce n'est pas la même "méthode de Newton".

Salut

Merci En fait je t'explique le contexte :

On a une raccordement progressif de forme clothoide (par exemple sur une route) qui relie admettons une droite à un cercle.

On se trouve réellement sur la clothoide en un point M dont on ne connait pas les coordonnées de manière précise (et on ne les connaitra jamais).

On a un GPS qui file comme coordonnées un point P (Xp, Yp).

La question est de savoir quel est le point P' sur la clothoide qui est le plus proche de P ? L'objectif étant ensuite de dire que l'on est approximativement en P'

Vois-tu ?

Ah OK, c'est un problème pratique alors et non pas un exercice pour taupin.
Bien souvent les "applications pratiques" sont hélas plus compliquées que les exercices d'école.

Merci beaucoup de prendre de ton temps pour moi.

Justement l'équation de la clothoide correspond à y = x^3 / 6A² sur le domaine d'étude.

Mon niveau : un petit bac C je te l'avoue, obtenu il y a ... 23 ans maintenant
je me suis permis de mettre ce problème en niveau ingé car on m'a dit que ce genre de chose était du niveau ingé. Il n'empêche que je dois le résoudre pour des raisons professionnelles et je me trouve bien seul à part toi et Ilemaths

La connaissance du point M n'est pas importante car en fait on cherche uniquement une approximation P' de ce point M, tel que P' est la distance la plus courte entre P (le point dont on connait les coordonnées GPS) et la clothoïde, clothoïde qui peut s'exprimer sous la forme d'une parabole cubique de forme f(x) = x ^3 / 6A² .

- La méthode 2 que tu proposes reviendrait à chercher la droite normale à la parabole cubique au point P'. Son coefficient directeur y serait donc normalement 1/f' c'est à dire 2A² / x².

Après c'est con mais je bloque.

J'y vais doucement pour essayer de pas me gourer trop :

la droite tangente à la courbe en M(u,v) s'écrit y = f'(u)(x-u)+f(u)
la droite normale à la courbe en M(u,v) s'écrit donc y = -(x-u) / f'(u) + f(u)
Si P (Xp ; Yp) il appartient à la normale à la courbe, donc
Yp = -(Xp - u) / f'(u) + f(u)
<=> Yp * f'(u) = -(Xp - u) + f(u) * f'(u)
<=> Yp (u² / 2A²) = -(Xp - u) + (u^3 / 6A²)(u² / 2A²)
<=> (Yp/2A²) * u² = - (Xp - u) + u^5 / 12A²

<=> (1/12A²) u^5 - (Yp/2A²) * u² + u - Xp = 0

donc il faudrait que je résolve une équation de degré 5 ?

Bonjour,

J'ai remarqué une petite erreur. C'est u^5 / 12A^4 et non u^5 / 12A². Mais ça ne change pas le fait que c'est bien du degré 5.

Or il n'y a pas de formule toute faite pour les équations polynomiales de degré 5 ou plus. Donc soit on a de la chance et c'est un cas particulier où on peut trouver les racines, soit il faut passer par des approximations... d'où, à mon avis, la référence à la méthode de Newton.

Je vais continuer de chercher dans mon coin encore un moment. Si je ne donne pas de nouvelles, c'est que je bloque aussi

Je trouve la même chose (à X15 : tu avais oublié le signe - )
étant donné que Xp et Yp sont quelconques, l'équation de degré 5 est bien "le cas général" donc seulement résoluble numériquement, connaissant les valeurs numériques de a, Xp, Yp.

Il reste que parmi les 1 ou 3 solutions réelles, il faut trouver laquelle est le minimum. ceci se fait "juste" en calculant les trois distances et en cherchant laquelle des trois est le minimum.
L'interprétation géométrique suggère qu'il y a au plus trois solutions réelles. Mais il peut effectivement y en avoir trois. Le point P de ma figure donne deux minima locaux (un entre Q et Q', l'autre entre Q'' et Q''') et un maximum local (entre Q' et Q'')

Quant à cette histoire d'abscisse curviligne, là aussi je pense que seul un calcul numérique done la solution :


donc et donc
, bof...
je ne vois pas trop, il est vrai que je n'ai plus tellement l'habitude de calculer des intégrales !
Il est même fort possible que cela ne puisse s'exprimer que via des "fonctions elliptiques" doux euphémisme pour dire qu'on ne sait calculer ça que numériquement.
en tout cas Xcas me ramène ça à une intégrale dont il refuse de me donner une primitive, me renvoyant mon inchangé.

Bon je ne trouve pas de cas particulier. Newton est donc ton ami.

Ce n'est pas bien compliqué à programmer, mais tu vas avoir deux soucis à régler.

Déjà le choix des solutions : l'exemple graphique de mathafou en donne 4. As-tu un critère pour sélectionner une des positions possibles ?

Ensuite, comment trouver toutes les solutions ? L'algorithme de Newton n'approxime qu'une seule solution à la fois, en fonction de la valeur initiale qu'on lui a fourni. Et encore, il peut arriver que la valeur initiale ne permette pas d'atteindre une solution (cas de divergence de la suite mise en place par l'algo).

juste une petite remarque.

On cherche le minimum = la solution de l'équation de degré 5.
alors que mon exemple donne les 4 solutions Q,Q',Q'' et Q''' positions de Q à distance d imposée de P (solutions d'une équation de degré 6)


Pour l'équation de degré 5, les solutions imaginaires allant par paires conjuguées, le nombre de solutions réelles est forcément un nombre impair 1, 3 (voire 5, mais non)

Le plus simple pour programmer Newton est ... d'utiliser un programme tout fait !
en fait ici il faut "séparer les solutions", puisque l'équation est polynomiale cela se fait sans trop de difficulté, mais les détails sont fastidieux. autant s'appuyer sur qqun qui a deja fait ça pour nous : Maxima, Xcas, bbpr.exe, etc...
(perso j'utilise bbpr.exe pour mes résolutions de polynomes, très léger car spécialisé pour ça, sais plus où j'avais trouvé ça sur le net, tout petit programme écrit en C)

Merci beaucoup pour votre mobilisation, c'est super sympa !

Donc ce serait :
(1/12A^4) u^5 - (Yp/2A²) * u² + u - Xp = 0 ?
Arf je vois pas de quel signe - vous parlez.

Etant donné qu'il s'agit d'un cas concret, une clothoide qui ne part pas très loin dans la spirale. En fait on reste assez proche du point origine. Je dis ça car je ne sais pas si ça peut aider dans la recherche de la solution.

Autre chose, pour calculer l'abscisse curviligne, étant donné que la clothoide et la parabole cubique sont quasiment confondues (grâce aussi au fait qu'on reste assez près du point origine), je me disais qu'il y avait peut-être moyen de rebasculer sur les calcules paramétriques ou complexes en sachant que la chlotoide est de forme paramétrée :
x(s) = a * Intégrale (0 -> s) cos t .dt
y(s) = a * Intégrale (0 -> s) sin t .dt

et la forme complexe :
p(s) = a * Intégrale (0 -> s) e^(it^2) . dt

(désolé je maitrise mal l'outil pour écrire les intégrales sur le fofo)

"autant s'appuyer sur qqun qui a deja fait ça pour nous : Maxima, Xcas, bbpr.exe, etc..." a écrit mathafou.
Par exemple la commande distance de Xcas renvoie entre autres  la distance d'un point à une courbe.

Si dans mon rapport j'écris que la résolution de (1/12A^4) u^5 - (Yp/2A²) * u² + u - Xp = 0 se fait par la méthode de Newton, tu penses que ce sera suffisant ? On me demande quelque chose de complet pour être reproductible de manière industrielle...

@ Alb12 : je te demande ça sérieusement Alb12, ne t'inquiète pas Si tu penses que c'est suffisant alors dis le moi, cela m'irait très bien

Comme alb12 préconisait d'utiliser Xcas directement pour trouver la distance sans passer par quelque équation que ce soit (à part celle de la courbe elle-même) je ne sais pas si "la distance est obtenue avec le logiciel Xcas" satisferait aux critères d'un rapport officiel sur une méthode (disons "brevetable")
Certes Xcas est sous licence GPL mais de là à affirmer qu'il utilise effectivement Newton pour résoudre ses équations internes, va savoir...
Une application utilisant Xcas est-elle d'ailleurs brevetable sans précautions ??
On quitte le domaine technique pour aller vers le juridique.

Petite correction de ma part : les équations paramétrés d'une clothoïde sont :
x(s) = a * Intégrale (0 -> s) cos t^2 .dt
y(s) = a * Intégrale (0 -> s) sin t^2 .dt

Mathafou peux tu m'indiquer stp où se trouve le souci de signe - ?

Finalement la méthode de Newton est suffisamment connue pour qu'on puisse s'y référer je pense

le souci de signe - était dans ton coefficient directeur de la normale que tu indiquais

Vous êtes géniaux !

Merci beaucoup

"Si tu penses que c'est suffisant alors dis le moi, cela m'irait très bien"
Malheureusement je n'ai aucun élément me permettant de répondre à cette question.
Le principal à mon avis c'est la résolution approchée du problème avec le moins d'approximation possible. Et donc l'utilisation d'un programme de calculs semble plus adapté. Vu sous cet angle, il n'y a aucune raison de remplacer la clothoïde par une cubique. Si ce n'est pas trop indiscret, quel est le cadre général de ton travail (pour montrer l'importance des maths à mes élèves).

@Alb12 : ok

Domaine ferroviaire Mathfou a deviné une parti du reste

A défaut de te donner une réponse brevetable , si tu le permets, je trouve le problème intéressant à poser à des élèves de Terminale.
J'ai une petite idée de la façon de présenter les choses, en tout cas je suis certain qu'à la fin on devrait construire une fonction qui renverrait la distance d'un point à une clothoîde. Ce qui en langage Xcas simple pour être compris par un lycéen au fait de la syntaxe de ce logiciel donnerait:

DistancePointSpirale(a,x,y):={
  //pour a voir http://www.mathcurve.com/courbes2d/cornu/cornu.shtml
  // x et y les coordonnées du point
  local L,t,u,absc,ordo,dist;purge(u);
  L:=[distance(0,x+i*y)];
  pour t de 1 jusque 2000 faire
    // paramétrage de la clothoïde
    absc:=a*romberg(cos(u^2),u,0,t/1000);ordo:=a*romberg(sin(u^2),u,0,t/1000);
    dist:=sqrt((x-absc)^2+(y-ordo)^2);
    L:=append(L,dist);
  fpour
  retourne min(L)
}

Pour les plus doués je pourrais compléter en leur demandant une fonction renvoyant la distance d'un cercle à une clothoïde.