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Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ?

Posté par
RGTL 29-03-10 à 23:27

Bonjour à tous,

Dans le calcul de l'espérance d'une V.A. suivant une loi Géométrique (E=1/p au final), je bloque à un moment... Je l'ai tapé sur Word et c'est ci dessous si vous avez une idée . Ca doit surement être très simple, mais j'arrive pas à trouver une solution correcte...

Merci, bonne fin de soirée à vous!

Espérance d\'une loi Géométrique, Démonstration ?

Posté par
MatheuxMatoure : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 29-03-10 à 23:36

bonsoir

et si on dérive par rapport à p la quantité 3$ f(p) = \sum_{x=1}^{x=N} (1-p)^x et qu'ensuite on faisait tendre N vers l'infini... non ?

Posté par
MatheuxMatoure : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 29-03-10 à 23:40

sachant évidemment aussi que 3$ f(p) = (1-p).\frac{1-(1-p)^N}{p}
ce qui donne une autre façon de dériver et de calculer cette limite

Posté par
RGTLre : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 30-03-10 à 11:56

Donc tu fait la somme des termes d'une suite géométrique

le problème c'est que :
1. j'obtient pas 1/p² en dérivant puis en faisant tendre n vers l'infini (j'obtient -1/p²)
2. En utilisant l'autre formule j'obtient un truc encore plus bizarre : 1/p

Bon ça s'explique surement parce que je n'ai pas touché aux suites depuis 2 ans mais je n'ai toujours pas trouvé^^

Posté par
veledare : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 30-03-10 à 15:24

bonjour,
>>RGTL
tu as
*lim_{N->+\infty}f'(p)=\frac{-1}{p^2}
**E(X)=lim_{+\infty}p\bigsum_{x=0}^Nx(1-p)^{x-1}=-plim_{\infty}f'(p)=(-p)(\frac{-1}{p^2})=\frac{1}{p}

Posté par
RGTLre : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 30-03-10 à 20:17

Ok, j'ai bien cerné le problème par contre je vois pas pourquoi quand tu sort la constante p tu change de signe?
En fait, il doit y avoir un problème quelque part dans le calcul de \sum x(1-p)^{x-1}=-1/(p^2) Comment une somme de produit de nombres positifs donne un résultat négatif (avec (1-p) positif et une somme de 1 à l'infini)?

En tout cas merci pour vos réponses, bonne soirée

Posté par
veledare : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 30-03-10 à 20:54

f(p)=\bigsum_{x=1}^N(1-p)^x=>f'(p)=\bigsum_{x=1}^N(-x)(1-p)^{x-1}
tu dérives u^x=(1-p)^x=>xu'u^{x-1}et u'=-1

Posté par
MatheuxMatoure : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 30-03-10 à 23:07

oui... comme dit Veleda, il faudra revoir la notion de dérivée d'une composée !

Posté par
RGTLre : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 31-03-10 à 07:27

D'un coup tout s'éclaire... Il est temps que je reprenne un peu mes maths : je dérivais sans le u'^^, je crois que le p en tant que variable m'a perturbé. En tout cas merci d'avoir été jusqu'au bout.

Bonne journée

Posté par
veledare : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 31-03-10 à 07:54

bonne journée à toi aussi

Posté par
MatheuxMatoure : Espérance d'une loi Géométrique, Démonstration ? 31-03-10 à 13:31

bonne journée à toi (vous) aussi.

MM

Posté par
mathematienimad 23-05-10 à 13:09

bonjour pour l'ésperance on prend la Somme DE q puissance n après en dérrive on obtient n*q puissance n-1 d'1 coté et d l'autre coté égale 1 sur (1-q) puissance 2 en remplacle 1-q par p sa devinne 1 sur p puissant 2 multiplier par le p endehors de la somme on obteint  1 sur p et si l'ésperance


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