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Exercice de recherche : Foyer d'une parabole
Bonsoir, voici un exercice que le professeur nous a donné qui est un exercice de recherche comme l'indique le titre
donc on a : Le miroir parabolique, frappé en M par un rayon incident, le réfléchit en un rayon simétrique par rapport à la perpendiculaire à la tangente en M à la parabole P. La parabole est orientée de telle sorte que les rayons du Soleil arrivent tous parallèles à l'axe de la parabole. On considère que la prabole P a pour équation y= 1/4x²
1) On considère le rayon incident [RM], où M est un point de P de coordonnées (a;1/4a²) et R tel que le triangle FMR soit isocèle en M.
a) Déterminer les coordonnées du vecteur FR dans (O; Vecteur i; Vecteur j).
On a MR=MH
b) En déduire que le coefficient directeur de la droite (FR) est 1/2a
2) Déterminer une équation de la parallèle Delta à la droite ( FR ) passant par M
3) Démontrer que Delta est tangente à P en M.
4) En déduire que la perpendiculaire à Delta en M est bissectrice de l'angle FMR
5) En quel point va passer le rayon réfléchi du rayon incident [ RM ] ?
Je n'y comprend rien merci de votre aide
Bonsoir. J'aimerai que quelqu'un m'explique le raisonnement à adopter pour résoudre cet exercice :
Le miroir parabolique, frappé en M par un rayon incident, le réfléchit en un rayon symétrique par rapport à la perpendiculaire à la tangente en M à la parabole P. La parabole est orientée de telle sorte que les rayons du Soleil arrivent tous parallèles à l'axe de la parabole. On considère que la parabole P a pour équation y=1/4x²
1) On considère le rayon incident [RM], où M est un point de P de coordonnées (a ; 1/4a² ) et R tel que le triangle FMR soit isocèle en M.
a) Déterminer les coordonnées du vecteur FR dans ( O; Vecteur i ; Vecteur j).
(On a MR=MH).
b) En déduire que le coefficient directeur de la droite ( FR ) est 1/2a
2) Déterminer une équation de la parallèle Delta à la droite ( FR ) passant par M
3) Démontrer que Delta est tangente à P en M.
4) En déduire que la perpendiculaire à Delta en M est bissectrice de l'angle FMR.
5) En quel point va passer le rayon réfléchi du rayon incident [RM]
Je vous remercie d'avance
*** message déplacé ***
* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *
Bonjour leschi2a
Ton énoncé n'est pas complet ou bien il manque une figure...
Quelles sont les coordonnées de F ?
R tel que le triangle FMR soit isocèle en M.
As-tu une figure ?
*** message déplacé ***
Hmm donc attends, pour le vecteur FR, les coordonnées sont xr-xf ; yr-yf ?
donc, Vecteur FR =( 3.5 ; 6.125 ) ??
D'après le graphique, on sait que a= 3.5 donc le coefficient directeur est bien 1/2a car si on multiplie 3.5 par 1/2a, on retombe sur l'ordonnée obtenue.
2) Déterminer une équation de la parallèle Delta à la droite ( FR ) passant par M.
Donc, si deux droites sont parallèles, elles ont le même coefficient directeur. Ici, 1/2a soit 1.75.
Donc Delta = y= 1/2ax +b
Pour trouver B, on se place sur M, on a x=3.5 et y=3.0625
L'équation de la parallèle Delta à la droite (FR) devient donc : 3.0625= 1.75x3.5 +b où b = -3.0625.
L'équation est donc: y=ax+b où y= 3.0625 a= 1.75 x= 3.5 et b = -3.0625
3) Démontrer que Delta est tangente à P en M.
Revient à dire que P=ax+b admet au moins une solution
0.25x²=1.75x-3.0625
0.25x²-1.75x+3.0625=0
Discriminant = -1.75² -4ac =3.0625 -4.025 x 3.0625 = 0
Une solution x1 = -b/2a = 1.75/0.5 = 3.5
Et après ??
4) ?
5) ?
Merci d'avance ^^
On résout f(x)=ax+b
f(x)= 1.75x -3.0625
*** message déplacé ***
Ah lala !
Il faudra revoir l'ensemble 
[b]a) Déterminer les coordonnées du vecteur FR dans ( O; Vecteur i ; Vecteur j).
(On a MR=MH).[/b]
Les coodonnées de F sont (0;1) et les coordonnées de H sont (a;-1).
Tu peux calculer les coordonnées de .
En utilisant le fait que , tu pourras trouver les coordonnées du point R.
Tu trouveras que les coordonnées de R sont .
On pourra alors trouver les coordonnées de
*** message déplacé ***
Mais suis-je obligé de passer par là car, par lecture graphique on sait que F= (0;1) et R=(a; 0.5a²+1) donc on peut faire xr-xf et yr-yf de suite sans passer par MR et MH non ?
Je ne comprends pas
*** message déplacé ***
La lecture graphique ne suffit pas. Elle ne prouve rien.
On ne peut faire que des conjectures avec un graphique... 
*** message déplacé ***
D'accord je comprends, cependant, comment trouves-tu les coordonnés de M??
Je n'arrive pas à les trouver, je sais que M (a; 0.25a²) d'après le graphique.
On sait que FMR est isocèle en M donc MR=MH mais peux-tu m'expliquer comment trouver MH? car si on trouve MH, comme tu le dis, on trouve également MR et donc les coordonnées du point R mais je ne parviens pas à trouver MH :x
Merci.. ^^
*** message déplacé ***
comment trouves-tu les coordonnés de M??
Je n'arrive pas à les trouver, je sais que M (a; 0.25a²) d'après le graphique.
Lis ceci :
1) On considère le rayon incident [RM], où M est un point de P de coordonnées (a ; 1/4a² )
*** message déplacé ***
Pour les coordonnées de , voici un petit rappel.
Coordonnées du vecteur
Si nous avons et
, alors les coordonnées de
sont
Dans notre cas, nous avons : et
.
Donc les coordonnées de sont ...
*** message déplacé ***
Lol erreur de ma part.. Je n'avais pas vu que dans l'énonce on avait les coordonnés de M :x
Donc MH = M(xM;yM) et H(xH;yH)
M(a;1/4a²) et H(a-1)
MH= (a-a; -1-1/4a²)
MH= (0;-2.0625)
Ensuite RM=MH=(0;-2.0625)
Donc xr et yr= 0+xm ;-2.0625+ym
(a ; 1)
F(0;1) R(a;1)
FR= (a;0)
sauf que je n'ai pas trouvé ça d'après ma lecture graphique xDD..
*** message déplacé ***
On sait que M (a;1/4a²)
F (0;1)
H (a;-1)
MH= a-a= 0 -1 - 1/4a² =-4.0625
MH = (0;-4.0625)
MR=MH
donc xr-xm; yr-ym = (0;-4.0625)
sachant que xm= a et ym=1/4a²
xr=a et yr= 1
FR= F(0;1) R(a;1)
= (a;0)
Et c'est pas ça ... je vois pas où je me trompe..
*** message déplacé ***
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