Pourriez-vous m'indiquer quelques pistes pour résoudre cet exercice
de spécialité :
a un entier naturel
1) Montrez que a^5 - a est divisible par 10
Par récurrence, je trouve (a + 1)^5 - (a+1) = (a^5 - a) + 5(a^4 + a)
+ 10(a^3+a^2). Comment démontrer alors que 5(a^4 + a) divisible par
10 ?
2) a et b sont des entiers naturels, a est supérieur ou égal à b. Démontrez
que si a^5 - b^5 est divisible par 10 alors a^2 - b^2 est divible
par 20
Merci de votre aide.
1) N=a^5-a=a(a^4-1)=a(a²-1)(a²+1)=(a-1)a(a+1)(a²+1)
Dans le produit (a-1)a(a+1), il y a nécessairement au moins un multiple
de 2 et un seul multiple de 3. Le nombre N est donc divisible par
2. Reste à montrer qu'il est divisible par 5.
Pour cela, il suffit de raisonner sur a :
si a=5k (multiple de 5), N l'est aussi
si a=5k+1, a-1 est multiple de 5 donc N aussi
si a=5k+4, a+1 est multiple de 5 donc N aussi
si a=5k+2, a²+1=(5k+2)²+1=25k²+10k+5, multiple de 5 donc N aussi
enfin, si a=5k+3, a²+1=(5k+3)²+1=25k²+30k+10, multiple de 5 donc N aussi
Dans tout les cas, N est multiple de 2 et de 5 donc N est divisible par
10.
2) a^5-b^5=a^5-a+a-b^5+b-b
=(a^5-a)-(b^5-b)+a-b
D'après la question précédente, a^5-a et b^5-b sont divisibles par 10.
Par conséquent, si a^5-b^5 est divisible par 10 alors a-b aussi
Donc a-b=10k soit : a=b+10k
Une conséquence est que si b est pair, a aussi
si b est impair, a aussi
Donc a et b ont nécessairement même parité.
Cela implique que a+b est un multiple de 2 (y réfléchir)
Comme a²-b²=(a+b)(a-b), que a+b est un multiple de 2 et a-b multiple de
10, alors a²-b² est divisible par 20.
FIN
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