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Exercice Tangente/Dérivée 1S
Soit f la fonction définie sur R par f(x)= (x-2)^2
Existe-t-il des réels a tels que la tangente à Cf au point M d'abscisse a recoupe les axes de coordonnées en deux points A et B symétriques par rapport à M ?
J'ai fait ça :
On a f(x) = (x-2)^2 défini sur R et dérivable sur R. Sa dérivée est f'(x)= 2(x-2)
L'équation de la tangente est donc y = f'(a)(x-a)+f(a) soit y = 2(x-2)(x-a)+(x-2)^2
On résout donc y = 0 soit 2(x-2)(x-a)+(x-2)^2 = 0 et je trouve x=2 ou x=2a/3+2/3
J'ai ensuite résolu 2(0-2)(0-a)+(0-2)^2= y
Et j'obtiens y = 4a + 4. Et après je ne sais comment avancer...
Zyclon, je vois que tu es nouveau(velle), bienvenue sur l'
mais je vois aussi que tu as ouvert un 2e compte, ferme le stp dès maintenant puisque tu travailles avec celui-ci, on ne peut pas avoir deux comptes ici
Merci
Lorsque je résout y = 0 pour avoir les points d'intersection de cette droite avec axe X, 2(a-2)(x-a)+(a-2)^2 = 0, j'obtiens a = 2 ou a = 2x-2. Je ne retiens que a = 2 ? Donc la tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse a = 2 c'est ça ?
Je ne comprends pas ce que tu fais.
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est : y = 2(a-2)(x-a)+(a-2)²
Tu cherches les coordonnées (xM;yM) du point M intersection de cette tangente avec l'axe de abscisses.
Comme tu le dis, yM = 0.
Il reste : 2(a-2)(xM-a)+(a-2)² = 0
Reste à résoudre cette équation.
Mais ce n'est pas une équation d'inconnue a. C'est une équation d'inconnue xM.
xM = ...
OK. Donc le point de coordonnées est le point d'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente au point d'abscisse
.
au point M d'abscisse a recoupe les axes de coordonnées en deux points A et B symétriques par rapport à M ?
Oui.
Tu viens de déterminer les coordonnées du point
d'intersection entre l'axe des abscisses et la tangente au point d'abscisse
.
Reste à déterminer les coordonnées du point d'intersection entre l'axe des ordonnées et la tangente au point d'abscisse
.
Et donc là pour B, pour le point d'intersection de cette droite avec l'axe des ordonnées on regarde pour quelle valeur de y on trouve x=0. Donc je résout y = 2(a-2)(0-a)+(a-2)^2 avec xM = 0. Je trouve y = 4-a^2. Donc B(0; 4-a^2) . C'est bon ?
Je dois faire du calcul vectoriel pour déterminer M grâce aux coordonnées de A et de B , il me semble ?
Evidemment que les coordonnées du point d'abscisse a de la courbe y=f(x) sont (a;f(a)). C'est même une sorte de définition. Reste à remplacer f(a) par son expression.
Tu peux aller voir la figure animée au bout de ce lien :
https://www.geogebra.org/material/simple/id/2751999
et faire bouger le point M à la souris.
La question qui se pose est de savoir si, pour une valeur de a, M se confond avec le milieu I de [AB]
Tu dois trouver a tel que M soit le milieu de [AB].
Qu'est-ce que cela signifie en termes de coordonnées ?
Aaaaah je vois : on a A(xA ; yA), B(xB ; yB) deux points du plan. Si M est le milieu du segment [AB], alors les coordonnées de M sont données par M((xA ; yA)/2 ; (xB ; yB)/2)
" M((xA ; yA)/2 ; (xB ; yB)/2) " ne veut pas dire grand chose, mais tu as saisi l'idée. Reste à dérouler les calculs...
J'ai trouvé et cela correspond avec votre figure sur GeoGebra. On sait que M a pour coord. (a ; f(a)) . Or M est le milieu de [AB] donc M a pour coord. ((xA+yA)/2 ; (xB+yB)/2). On connait les coord de A où xA = (a+2)/2 et yA = 0. Donc a = (xA+ yA)/2 soit [(a+2/2)+0]/2 = 2/3. Sur GeoGebra, a = 0.666667 soit 2/3
Merci de m'avoir aidé 
et bonne journée.
a = 2/3 me semble juste, mais est précédé de nombreuses erreurs.
"((xA+yA)/2 ; (xB+yB)/2)" : non
Il y a un système d'équations à résoudre.
J'ai compris mon erreur M a pour coord. ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2). Mais comme xB = 0 comme yA, mon calcul n'est pas faux
Je pense que je peux terminer et que je n'aurai point besoin de vous demander autre chose. Merci encore de m'avoir aidé cette après-midi. 
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