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exo niveau seconde
amethyste
salut
pendant les vacances je propose ici un exo niveau seconde pour appliquer les équations du second degré et le théorème de Pythagore
justifier la réponse avec les deux seuls outils suivants :
-théorème de Pythagore
-équation du second degré
tout autre moyen pour la résolution du problème est interdit (pas de trigonométrie, pas de bissectrices pas de ...etc ...et surtout pas de dessin)
_________________
Enoncé
on se place dans le plan : soient sont donnés les coordonnées cartésiennes de 9 points
en valeurs numériques approchées
on recherche les valeurs numériques approchées des coordonnées cartésiennes d'un point O
et d'une distance R
ces 9 points tels que ceux-ci sont situés sur un cercle de centre O et de rayon R
P1=(6.022727272727,3.613636363636)
P2=(11.022727272727,10.86363636363)
P3=(14.022727272727,5.8636363636363)
P4=(13,9.5)
P5=(8,2.25)
P6=(5,7.25)
P7=(13.75,8.25)
P8=(13.0461538462,3.66923076923)
P9=(7.2602739726,10.5273972603)
****ce post ayant tourné au monologue***forum modifié***
Bonjour
Peut être mais à l'époque de la R.D.A. (ou D.D.R. en allemand) et en 1985 et dans cette nation, les équations du second degré étaient au programme de l'équivalent de la seconde en France
Mais autant que je donne la solution "justifiée" (mais c'est long je le fais en plusieurs fois)
Donc uniquement avec ces seuls deux outils susmentionnés, il s'agit de rechercher un cercle de centre O et de rayon R tel que n points notés Xj (avec j de 1 à n) appartiennent à ce cercle
on notera avec
et
les coordonnées cartésiennes du point O
avec
et
les coordonnées cartiennes du point Xj
une première conséquence algébrique est que l'on dispose du système de n équations suivant:
...
et étant donné que R est le rayon d'un cercle de rayon non nul alors R>0
en développant ce système on en arrive à obtenir six autres conséquences algébriques :
pour tout point Xj quelconque parmi les n points donnés on observera l'une de ces six configurations
et toute autre possibilité sera impossible si il est vrai que ces n points soient cocycliques
1. Lorsque et lorsque
alors
"OU EXCLUSIF"
2 Lorsque et lorsque
alors
"OU EXCLUSIF"
3 Lorsque alors
"OU EXCLUSIF"
4 dans ce qui est dit à la configuration 1 on remplace
par
par
par
par
5 dans ce qui est dit à la configuration 2 on remplace
par
par
par
par
6 dans ce qui est dit à la configuration 3 on remplace
par
par
par
par
___________________________
À présent, ces configurations ne sont pas d'une grande aide mais c'est à partir de là qu'on va obtenir d'autres conséquences algébriques
toujours dans cette hypothèse qu'ils soient cocycliques alors on peut prendre n'importe quel point parmi ces n points Xj pour redéfinir le rayon R
dans ce cas prenons le point Xn
on vérifie donc
et appliquons cette re-écriture de R avec ce que l'on viens de dire
bon je reviens plus tard car c'est long ...
bon à présent il faut traiter chacune des six configurations
et pour un rayon R obtenu et un centre O obtenu vérifier les n équations
...
si ces n équations sont vérifiée alors les points sont cocycliques et le problème est résolu
configuration 1 et première partie
On recherche s'il existe parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn, un point Xp tel que on vérifie ces équations avec
et
configuration 1 et deuxième partie
On recherche s'il existe parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn, un point Xp tel que on vérifie ces équations avec
et
configuration 4 et première partie
On recherche s'il existe parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn, un point Xp tel que on vérifie ces équations avec
et
configuration 4 et deuxième partie
On recherche s'il existe parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn, un point Xp tel que on vérifie ces équations avec
et
bon il reste encore les configurations 2 et 3 et 5 et 6 à faire ...puis terminer le reste ... je reviens
bon je continue
pour les configurations 1,3,4,6 celles ci sont liées par certaines relations
de plus le numérateur de la fraction qui exprime la valeur donnant R est identique
ces configurations peuvent se re-écrire plus simplement en quatre parties
___________________________
première partie
on recherche si il existe un point Xp parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn tel
qu'en posant et
avec
on verifie d'une part
et
et d'autre part le système d'équations initial
bon je continue
...mais étant donné que dans tous ces cas R est donné
les inégalités et égalités des discriminants sont donc vérifiés
on peut donc simplifier la descriptions des configurations 1,3,4,6
_______________________
partie 1
on recherche si il existe un point Xp parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn tel
qu'en posant et
avec
on verifie le système d'équations initial
_______________________
partie 2
on recherche si il existe un point Xp parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn tel
qu'en posant et
avec
on verifie le système d'équations initial
_______________________
partie 3
on recherche si il existe un point Xp parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn tel
qu'en posant et
avec
on verifie le système d'équations initial
_______________________
partie 4
on recherche si il existe un point Xp parmi les n-1 points Xj hormis le point Xn tel
qu'en posant et
avec
on verifie le système d'équations initial
___________________
À présent il reste à traiter les configurations 2 et 5 ...je reviens
bon je continue
...mais là encore on peut simplifier le problème
si les n points Xj sont cocycliques et si les quatre cas décris au post précédent ne sont pas vérifiés alors obligatoirement
pour tout point Xj on vérifiera
et
et et
avec
AND
*erreur je corrige : je voulais dire : si l'un des quatre cas précédemment décri n'est pas vérifié
c'est au maximum l'un d'eux
Bonsoir amethyste,
tout d'abord je dois insister pour que l'on écrive les nombres avec les standards européens. Ainsi pour décrire les coordonnées d'un point dans un plan , on donne l'abcisse et l'ordonnée dans l'ordre avec un séparateur décimal qui est la virgule et non le point ( anglo-saxons et américains) séparés par un point-virgule. Par exemple point P2
(11; 10,86).
Ensuite, pour calculer des valeurs numériques approchées, inutile de s'encombrer d'un nombre incroyable de décimales. Deux décimales suffisent assurément.
Voici donc une solution relativement précise et facile ( pas de second degré !)
On prend dans la série des 9 points, 3 points P2, P3, P5. Montrons qu'ils ne sont pas colinéaires. Le coefficient angulaire du vecteur P2-P3 vaut (10,86-5,86)/(11-14) = -1,666
Le coefficient angulaire du vecteur P2-P5 vaut ( 10,86-2,25)/(11-8) = 2,87
Ils sont différents donc les points P2,P3,P5 ne sont pas alignés.
Voyons maintenant l'équation d'un cercle rapportée aux coordonnées du centre (x0; y0) et de rayon R
(x-x0)2 + (y-y0)2= R2
Exprimons que le cercle passe par les points P2,P3,P5
(1) P2 (11-x0)2+ (10,86- y0)2= R2
(2) P3 (14-x0)2+ (5,86- y0)2= R2
3) P5 (8-x0)2+ (2,25- y0)2= R2
On peut prendre (1) et (2) (11-x0)2+ (10,86- y0)2= (14-x0)2+ (5,86- y0)2)
et (2) et (3) (14-x0)2+ (5,86- y0)2) = (8-x0)2+ (2,25- y0)2)
ce qui donne après simplification 8,6 + 6x0- 10 y0=0 (4)
et 161,28 - 12 x0 - 7,22 y0 = 0 (5)
En multipliant la relation (4) par 2 et en additionnant ces relations (4) et (5), on obtient facilement y0= 6,56 et x0=9,5
en reportant x0 et y0 dans la relation (1) on trouve R=4,55
Voilà, simple et efficace
amitiés
simple ! merci camarade
Salut camarade Castoriginal
seulement voilà je ne suis pas un mec simple ...
en fait je sais très bien que mes neufs points ne sont pas sortis par hasard (ça c'etait pour le fun d'un exo)
moi je cherche à vous faire faire autre chose et c'est bien dommage que tout ce que j'ai écris passe à la trappe à la suite de ce que tu viens de dire (comme si la seule chose qui comptait était de donner la solution numérique approchée à ce problème)
En ex DDR et dans le niveau concerné (la classe de seconde) ils se seraient méfier de mon topic
ceux qui auraient compris ce qui est demandé auraient travaillé pour l'état et la démocratie populaire ...les autres je préfère ne pas en parler ...
bon et là on a bientôt terminé
c'est pas que ce soit compliqué mais c'est juste un peu long)
je pensai qu'on avait compris qu'on se fiche des données
bref ...
on reprend la définition de R par le point Xn
on pose les points Xp et Xq parmi les points Xj
et tels que et
et
en veillant aussi que les coordonnées de ces points en abscisses ne soient pas identiques
ou que les coordonnées de ces points en ordonnées ne soient pas identiques
car deux points distincts peuvent très bien avoir l'un ou l'autre
et on pose
Ainsi
et on traite...
-Admettons que et
on obtiens alors le système de deux équations à deux inconnues
bon je reviens là c'est presque terminé et tout deviens plus facile
on aura plus que des systèmes comme ça à écrire
ceci dit bravo Castoriginal
il s'agit bien d'un cercle de centre O=(9.511363636;6.556818182)
et de rayon 4.564307493
le cercle de Euler d'un triangle de sommets
A=(0;0)
B=(10;14.5)
C=(16;4.5)
la preuve en image le centre est bien aligné avec Omega , H et G
et le cercle passe bien par les neufs points dont ma,mb,mc,pa,pb,pc
La conclusion (quand même)
bon le problème c'est que la conclusion n'est pas demandée dans le topic mais de toute façon n'est pas du niveau seconde non plus )
puisque seuls trois points au minimum permettent de savoir si oui ou non il existe un seul et unique cercle passant par ces n points
il suffit de déterminer le cercle circonscrit du triangle non plat de sommets A,B,C où A,B,C sont des points parmi ces n points tels que l'on vérifie
avec
le produit scalaire canonique de
Ces n points sont cocycliques si et seulement si le système d'équation initial est vérifié avec les paramètres de ce cercle circonscrit
le calcul s'avère donc plus simple à faire (et sans conditionnelles)
il suffit de vérifier ce système d'équation initial avec
ce que l'on va obtenir pour calculer le rayon R et le point O centre de ce cercle
mais auparavant pour pouvoir effectuer ce calcul on va se donner un opérateur que l'on va noter * selon
pour deux vecteurs quelconques V et W non colinéaires on pose l'opérateur *
Z=V*W est un vecteur non nul
attention Z n'est possible que uniquement si V et W ne sont pas colinéaires
avec
alors on va établir les points Pa,Pb,Pc respectivement les pieds des hauteurs du triangle passant par respectivement le sommet A,le sommet B et le sommet C
on obtiens (attention ici * n'est donc pas le produit scalaire mais l'opérateur que l'on viens de definir )
par ailleurs on pose les milieux des cotés opposés aux sommets respectivement A,B,C
et on termine (enfin)
on pose par exemple (il y a six différentes façons de donner le centre O là j'en donne que deux mais une seule suffit)
la matrice inversible
avec en écrivant tous (vecteur et points ) sous la forme de matrices colonnes
alors le point O recherché est donné par
et voilà c'est fini !
je viens de voir une faute de frappe (mais bon on a compris vu qu'il n'y pas de b minuscule définit auparavant)
bla bla ... alors le point O recherché est donné par
et voilà c'est fini !
j'avais écris
Bonjour Améthyste,
tout ça est bien compliqué. Si tu veux plus tard décrocher un emploi durable, tu as intérêt à être plus pragmatique. Il faut être clair et efficace parce que le but essentiel des mathématiques ( et je sens que tu les aimes bien !) c'est de pouvoir les appliquer pour inventer de nouveaux objets, de nouvelles constructions, de nouvelles façon d'utiliser l'énergie , d'accorder les possibilités de la nature à nos désirs; bref de trouver le bonheur.
amitiés
Bonjour CastorOriginal
mon parcours est différent
compliqué ou pas (de toute façon ce qui compte est d'avoir la solution"mon truc" fonctionne et il n'est pas compliqué -certes bon ok il y a un peu de calcul matriciel mais bon j'avoue que j'ai un peu menti ... il fallait bien que je vous fasse un peu marcher non ?
sinon moi je n'aime que elle -> OLIVIA CARAMELLO - INTRODUCTION TO CATEGORICAL LOGIC 
en fait le fric et les emplois je m'en fiche complètement : mon but à moi est que pour moi seul compte OC et ce qu'elle sait
mais j'avoue que je suis un lent mais je suis tenace (pire qu'un pittbul et quand j'ai une proie (là ce sont les topoï de Grothendieck) je la lâche plus
il me faudra du temps mais j'y arriverai
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