Bonjour,

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Après une chasse aux angles j'aboutis à F1 avec un carré unitaire de coté 0.36877802  avec une inclinaison de 0.47274787 rad avec EFGH
en contact avec ABCD

je ne suis pas d'accord avec ces valeurs ...

H est en dehors :

Oui

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Il y a bien sûr du
alors disons EF=(+2)/10 et =0.48971285 rad

c'est déja mieux ... à 10^-3 près
à l'oeil c'est imperceptible, mais c'est tout de même faux.

"bien sûr" ??? sans doute, mais certainement pas aussi simple que cette valeur là !

si tu donnes une telle valeur exacte, tu dois la justifier (le prouver)

Bonjour,
On peut garder le F1 constante, faire tourner un rectangle contenant juste le F1 et regarder quand le rectangle ramené aux proportions d'un rectangle d'or en augmentant un de ses côtés est le plus petit. On raisonne en fonction de la tangente de l'angle de rotation, variant de 0 à plus l'infini, avec des changements de  régime pour t=1, 2 et 3.
C'est pénible, alors je n'ai pas fait les calculs. Mais ça donnerait une solution exacte et prouvée.

en effet chercher le plus grand F1 inscrit dans F2 donné équivaut à chercher le plus petit F2 contenant un F1 donné,
à similitude près

Je pense avoir trouvé:

F1 se range dans le rectangle F si le coté de ses carrés unitaires
mesure 0.36192344775 et qu'on respecte un angle d'inclinaison
de 0.48904755206 rad soit environ  26.6°.

Erreur en degrés de relecture pour l'angle:
environ 28.04 °.

maintenant la question était de le construire

vu la précision obtenue, tu as dû le construire et pas ajuster à la main, ou l e calculer et alors il faut donner les calculs
de toute façon la méthode est plus importante que le résultat brut.

J'étais persuadé qu'il doit y avoir du et j'ai cru un moment que (+2)/10 soit environ 0.3618 était bon...(comme tu dis  à 3/1000 près)
En faisant  varier on arrive à vérifier toutes les positions.
A noter que la seule valeur entière des calculs est
la tangente de l'angle GFH  soit 2 ...

(+2)/10 est la valeur que l'on obtient quand les points sur le pourtour sont F, G,H,K
avec un angle de arctan(1/2)

mais mettre E,F,G,H est meilleur (mais plus difficile d'en donner une valeur exacte)

Bonjour

En remarquant que le triangle DFG est le double de CGH qui est lui même le double de AEF on obtient la tangente de l'angle   .

Imod

Pour la dernière question , il me semble qu'on agrandit l'hexamino en approchant (FH) de l'horizontale .

Imod

oui, comme ça c'est assez simple,
en appelant x = AF et donc AE = x tan on obtient un système de deux (longueur et largeur) équations en x et tan
il est immédiat d'éliminer x de ce système et d'obtenir tan
il n'y a plus qu'à simplifier la valeur obtenue
puis on obtient x et donc c = EF

j'étais parti avec l'inconnue c = EF mais ça conduit à des bazars de sin et cos ...

>Imod

Oui dans le cas de  EFGH ,FH fait un tout petit
angle de  1°476 avec l'horizontale.
A noter qu'il est impossible d'avoir plus de 4 points tangents.
Dans le meilleur des cas K est à l'intérieur ...

si on approche FH de l'horizontale, FH va diminuer et donc l'hexamino aussi.

Pour le calcul de la tangente , j'avais noté a=AE et b=AF . Après L=2a+4b et l=4a+b et comme le rectangle est doré , on trouve le rapport a/b .

Imod

Pour l'horizontalité de (FH) , j'ai raisonné à l'envers comme souvent  

Imod

on peut bien sur tirer de ces calculs une construction synthétique à partir des valeurs, en particulier de tan , vu qu'il n'y a que des racines carrées et les 4 opérations pour les valeurs exactes.

mais quid d'une construction sans aucun calcul de valeurs ?
(valable même si le rectangle n'est pas d'or, dans certaines limites)

Bonjour,
Si on garde l'hexamino  pour un carré de 1x1:
On obtient un coté de 0.25 et une inclinaison de  1.080839 rad (ou sa rotation  de 90°)
On peut donc estimer que pour des rectangles de largeur 1
et longueur >1 on aura des cotés unitaires de l'hexamino  >0.25 et des angles qui décroitront .
Au hasard pour 1x1.3  environ 0.33 et 0.7 rad*

*à préciser....

il faut faire attention que le "type" de placement dépend du rapport longueur/largeur du rectangle
selon le ratio, les sommets de l'enveloppe convexe (EFMKGHL)
de l'hexamino qui sont sur le pourtour du rectangle changent. ainsi que les côtés sur lesquels ils sont placées

par exemple pour un rapport de 12/7 l'optimum est sur EFHK et pas sur EFGH



et pour 4/3 :

N'ayant plus d'internet depuis une journée j'ai un peu perdu le fil

De ce que je viens de lire : il faut distinguer les cas en fonction du rapport L/l , la principale transition s'effectuant quand (KG) passe à l'horizontale . Après 4/3 , le côté du petit carré reste toujours égal à 1/3 de la largeur du rectangle .

Ce problème intéressant avec inscription d'une figure dans un rectangle me rappelle un sujet que j'avais proposé il y a un moment avec un triangle inscrit dans un rectangle . Un élément de la preuve de LittleFox n'était pas complètement convaincant mais j'y reviendrais à la conclusion de celui-ci .

Imod

Bonsoir
EF=(V(134-14V5))/28 = 0.361923448 environ

encore une fois, je ne demandais pas des valeurs mais une construction géométrique ...

et pas à partir de la fabrication artificielle d'une "construction" d'un nombre obtenu par calcul.

>mathafou
oui ,j'ai bien compris,mais comme je n'ai pas de pistes ,je me suis attaché au problème suivant :
On va rester sur  F2    ABCD (l=1  et L>1)
et un hexamino EFMKGHL F1  qui doit s'inscrire avec le maximum* de points sans toutefois avoir des cotés tangents donc penché selon un angle défini .
Je suis actuellement sur L=1.3 puis L=2

* 4 ou 5 ?
Si tu veux ,je peux poster un nouveau topic ...

généraliser à un rectangle quelconque est la suite logique de ce sujet -ci.

pour une construction purement géométrique (y compris dans le cas général) on a une piste qui a déja été donnée :

Pour mémoire mes calculs...

Une autre généralisation naturelle :

Pour un réel r donné et un ensemble E de nœuds d'un quadrillage orthonormal . Quels sont les plus petits rectangles contenant E et vérifiant L/l=r ?

C'est certainement trop pénible mais ça permet de sortir un peu le nez du guidon

Imod

allons y mollo pour les généralisations ...

@dpi:
mais là tu imposes les points EFGH
en fait (déja dit), le choix des points en contact avec le pourtour dépend du rapport Longueur sur largeur

par exemple pour un format A4 (L/l = 2)
ce n'est plus les points E,F,G,H le meilleur mais F, K, L, H :


ce qui donne un coté de 0.34228 au lieu de 0.31991 (arrondi à 5 chiffres) et un angle d''environ 4° (4.06505°)
c'est plus que le "1/3 horizontal" qui est déja plus que ta valeur.

après avoir terminé mon applet qui construit toutes les configurations auxquelles j'ai pensé, il s'avère que pour le rectangle d'or le meilleur est là encore FKLH avec 0.37175 au lieu de 0.36192 pour EFGH

et pour un domino de rapport 2 c'est EFKL avec 0.39528
c'est d'ailleurs le cas pour tout rapport > 7/4 = 1.75

en résumé :
de 1 à 6/5 le meilleur est EMGH
de 6/5 à 4/3 c'est EFGH
de 4/3 à 7/4 c'est FKHL
au dela de 7/4 EFKL

Effectivement ,je n'avais gardé que la configuration  EFGH que j'avais paramétrée.
Comme il y a  7 points potentiels il faut trouver quel est le facteur  qui détermine les 4* points de contact .

*Je ne pense pas que l'on puisse en trouver 5...

c'est comme j'ai dit dans mon tableau récapitulatif
je ne vois pas comment le prouver autrement qu'en essayant chacune des combinaisons de points
ou alors il faut appliquer à la lettre

GBZM @ 27-03-2024 à 22:01

Bonjour,
On peut garder le F1 constante, faire tourner un rectangle contenant juste le F1 et regarder quand le rectangle ramené aux proportions d'un rectangle [de rapport k] en augmentant un de ses côtés est le plus petit. On raisonne en fonction de la tangente de l'angle de rotation, variant de 0 à plus l'infini, avec des changements de régime pour t=1, 2 et 3.
C'est pénible, alors je n'ai pas fait les calculs. Mais ça donnerait une solution exacte et prouvée.

Pour la généralisation de

J'ai voulu calculer* pour  (1;)
j'arrive à  EF=c=0.371748034460185 et =13.2825255885392 °

*C'est mon vice préféré

Il me semble qu'on a fait le tour de l'exercice . Pour l'hexamino initial 4 positions possibles pour le rectangle avec les intervalles pour lesquels ils sont solutions . Il n'est bien sûr pas question de donner une réponse générale pour un nuage de points à coordonnées entières  même si la méthode sur un cas donné est exposée

J'aime beaucoup ces problèmes avec des quadrillages ou des nœuds sur ces quadrillages . J'en ai  déjà proposé un ici et ailleurs  qui me laisse un goût d'inachevé , je le reproposerai bientôt ainsi que celui que j'ai déjà évoqué .

Mais je ne veux pas parasiter le sujet de Mathafou encore une fois très intéressant

Imod