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Fonction à deux variables.

Posté par
hand94600 20-05-12 à 10:37

Bonjour à tous, j'ai quelque soucis pour cet exo.
f(x,y)= (y²-4x+1)/(x²+y²)

a) Déterminer ensemble de déf et de continuité. Déterminer, s'il y a lieu le(s) prolongements par continuité.
b)Définir les courbes de niveau de f
c) Calculer le gradient de f
d) Déterminer les points critiques de D. Précise la nature de (1/2, 0, f(1/2, 0) f) Déterminer l'équation du plan tangent à S au point de coordonnées (0, 1, f(0,1)).
Merci beaucoup.

Posté par
GaBuZoMeure : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 11:19

Qu'as tu fait, ou au moins essayé ?

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 11:24

Alors j'ai des problèmes pour montrer la continuité ou discontinuité en (0,0). Pour les courbes de niveau je sais qu il faut poser f(x,y)=k mais je n 'arrive pas à extraire une équation connue.

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 12:05

Des idées? La continuité me gene vraiment beaucoup.

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:03

En quel sens la continuité de f te gêne-t-elle ?

Rechercher les niveaux f^{-1}(\{k\}), lorsque k est dans \R revient à déterminer \Gamma_k=\{(x,\,y)\in\R\times\R\,|\,f(x,\,y)=k\}. Tu veilleras à distinguer le cas où k=0 du cas où k\neq 0. A titre indicatif, sais-tu ce que sont les coniques ?

Je te laisse déterminer le gradient de f.

Peux-tu reformuler la question d), peut-être liée à la question c) ?

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:16

Je n'arrive pas à calculer la limite de f en (0,0) pour faire un eventuel prolongement par continuité, j'ai essayé la méthode des chemins et du passage en polaire.  
Pour les lignes de niveau, justement je n'ai pas reçu de cours sur les coniques donc je n'arrve pas à identifier à quel conique se rapporte l'équation obtenue.

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:43

Le graphique ci-dessous t'aide-t-il à voir ce qui se passe au voisinage de (0,\,0) ? Je l'ai constitué avec Microsoft Mathematics, programme téléchargeable gratuitement sur ledit site.

A +

Graphique :

Fonction à deux variables.

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:47

Que tu sois en Maths Spé ou en Licence, il me semble assez difficile de croire que tu n'aies pas eu un cours sur les coniques. Quoiqu'il en soit, tu avances et après l'on voit !!!

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:47

Merci beaucoup pour le graph.
On voit que f va tendre vers + l'infini, j'avais cette intuition mais j'ai du mal à le démontrer formellement  

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:51

Je suis en licence 2, et malheureusement je n'ai jamais eu de chapitre consacré entierement aux coniques, on nous fait des rappels juste quand on à une équations qui se rapporte à un coniques.

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:51

Et que dirais-tu de : Vu que \lim_{(x,\,y)\to\,(0,\,0)}(y^2-4\,x+1)=1 et \lim_{(x,\,y)\to\,(0,\,0)}(x^2+y^2)=0^+, alors il est clair que \lim_{(x,\,y)\to\,(0,\,0)}f(x,\,y)=+\infty. Est-ce si compliqué que ça ?

A +

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 14:56

De toute façon, l'on peut s'en passer ! Tu utiliseras la méthode de 500 ans avant JC, mais tu y arriveras !

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 15:25

Je ne sais pas pourquoi mais j'étais focalisé sur les chemins, donc f n'est pas continue en (0,0).
Pour les lignes de niveau j'arrive à un système de deux équations deux inconnues non linéaire:
4x^2-4y^2-2xy^2-2x=0
2yx^2+8xy-2y=0

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 15:30

Cas où k=0 : Déterminer \Gamma_0=\{(x,\,y)\in\R\times\R\,|\,y^2-4\,x+1=0\}.

Cas où k\neq 0 : Déterminer \Gamma_k=\{(x,\,y)\in\R\times\R\,|\,y^2-4\,x+1=k\,x^2+k\,y^2\}.

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 15:38

Excusez moi j'étais parti sur les points critiques de f décidément..
Pour k=0 je trouve y=racine(4x-1) avec x plus grand ou égal à 1/4 et pour k=!0 faut-il que j'isole y?

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 15:44

Avec la méthode datant de 500 ans avant JC, je trouve donc y=\sqrt{4\,x-1} ou y=-\sqrt{4\,x-1}, avec x quelconque dans [\frac{1}{4}\,+\infty[. L'on aurait pu aussi remarquer que x=\frac{1}{4}\,y^2+\frac{1}{4} ! De toutes las façons, que trouve-t-on ?

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 15:50

On trouve une parabole admettant l'axe des abscisses comme axe de symétrie

Posté par
DHilbertre : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 16:05

A présent, vu que k\neq 0, l'on constate que

\Gamma_k=\{(x,\,y)\in\R\times\R\,|\,y^2-4\,x+1=k\,x^2+k\,y^2\}=\cdots\\\\\phantom{\Gamma_k}=\{(x,\,y)\in\R\times\R\,|\,k\,(k-1)\,y^2+k^2\,\begin{pmatrix}x+\frac{2}{k}\end{pmatrix}^2-(k+4)=0\}.

Sauf erreur de ma part !

Note : Tu as à discuter selon les valeurs de k\in\R^*. Le fait qu'il y ait un cas impossible ne me surprendrait pas !

A +

Posté par
hand94600re : Fonction à deux variables. 20-05-12 à 16:15

Merci beaucoup, cette équation est-elle celle d'un conique? Comment avez-vous su qu'il fallait la mettre sous cette forme?
Juste une dernière question pour les points critiques de f comment résoud-t-on le système suivant:
4x^2-4y^2-2xy^2-2x=0
2yx^2+8xy-2y=0


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