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fonction gamma (propriétés asymptotiques)

Posté par
stokastik 12-11-06 à 22:46


Bonjour,

Quelqu'un voit-il comment montrer plus ou moins rapidement que :

3$\frac{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\sqrt{\frac{n-1}{2}} \to 1 quand  n\to+\infty ?

Aurait-on une propriété du type 2$\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right) \simeq \sqrt{\frac{x}{2}}\Gamma(x) ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 00:57

Bonjour,

La formule de Stirling donne un équivalent de la fonction Gamma, même dans le cas où la variable est réelle.
Voir par exemple :
http://gershwin.ens.fr/vdaniel/Doc-Locale/Cours-Mirrored/Operateurs-Differentiels/www.chez.com/touslescours/math/cours/opdiff/node48.html

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 00:59

Je ne me suis pas bien exprimé.
La formule de Stirling donne un équivalent de n!.
Elle est également utilisable dans le cas où on considère la fonction Gamma de variable réelle.
Cf. le lien (point 5.)

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 08:03


Ok, je ne connaissais point cette généralisation de la formule de Stirling. Merci!

Posté par
Ksilverre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 16:50

Bonjour !

Il me semble qu'elle est vrai dans un certain domaine dans C (quand |z|->+inf)... est-ce vrai ?  (et d'ou sa viens ?)

Posté par
JJare : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 20:04

Tu trouvera ton bonheur à :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

Posté par
Ksilverre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 13-11-06 à 20:27

non je parlais de la formulle de stirling.

il me semble qu'elle est juste dans un certain domaine sur C, mais je n'ai rien trouvé à ce sujet !

Posté par
JJare : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 14-11-06 à 09:08

Bonjour,

la page jointe rappelle quelques formules que l'on trouve dans les handbooks de fonctions spéciales (et qui sont démontrées dans les ouvrages concernant la fonction Gamma). Le developpement asymptotique de Gamma(x) donne une généralisation de la formule de Stirling.
La dernière formule (encadrée) est obtenue en utilisant le développement asymptotique de Gamma(x). On remplace x respectivement par (x-1)/2 et par (x/2) pour exprimer Gamma((x-1)/2) et Gamma(x/2). Puis on développe en série de puissances de (1/x).

fonction gamma (propriétés asymptotiques)

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 14-11-06 à 13:03


Merci à toi JJa.

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 18:34


Je remarque que l'on a

3$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

3$\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right)\simeq\sqrt{x}\Gamma(x)

Aurait-on plus généralement :

3$\Gamma(x+a)\simeq x^a\Gamma(x)  ?

Posté par
Ksilverre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 18:41

sauf erreur de calcule oui. (cela ce montre assez bien avec la formule de stirling)

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 19:34


Je ne vois pas bien. La formule de Stirling dit que

3$\Gamma(x+1)\simeq\sqrt{2\pi}x^{x+\frac{1}{2}}e^{-x}

Je l'applique pour \Gamma(x+a) en écrivant x+a=(x+a-1)+1 et pour \Gamma(x) en écrivant x=(x-1)+1, je fais le quotient du membre de gauche de l'équivalence de mon post précédent par le membre de droite, et après simplifications, il me reste à démontrer que

3$\frac{\exp\left[\left(x+a-\frac{1}{2}\right)\ln(x+a-1)\right]\exp(-a)}{\exp(a\ln x)\exp\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)\ln(x-1)\right]}

tend vers 1 quand 2$x \to +\infty, et là je ne vois pas...

Posté par
JJare : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:16

Le dévelopement asymptotique est obtenu de la façon suivante (le premier terme donne l'équivalent) :

fonction gamma (propriétés asymptotiques)

Posté par
Ksilverre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:19

Salut !
j'arrive à sa :

fonction gamma (propriétés asymptotiques)

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:28


Ksilver, d'après la formule de Stirling écrite ici ,
le premier équivalent que tu donnes est celui de \Gamma(x+1) et non de \Gamma(x). Idem pour le second tu as oublié un "+1". Mais cela ne change pas l'équivalent pour le quotient, donc ok, merci à toi.

JJa merci pour ces précisions.

Merci à vous

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:30


Au fait,

3$\Gamma(x+a)\simeq%20x^a\Gamma(x),

très joli non ?

Posté par
Ksilverre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:30

non, non mon equivalent est corecte : Gamma(x) = Gamma(x+1)/x, et j'ai divisé l'equivalent par x.

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:32


arf oui désolé tu as raison!

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:34


signalons d'ailleurs que pour a \in \mathbb{Z}, on a \Gamma(x+a)=x^a\Gamma(x)

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:36


euh... non sorry a \in \mathbb{N} seulement

Posté par
stokastikre : fonction gamma (propriétés asymptotiques) 21-11-06 à 20:36


... bon promis j'arrête de mentir, a=1 seulement


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