Salut,
ça veut dire que pour tous a et b de ton intervalle, si a < b alors f(a)<f(b) (avec des inégalités strictes).

Graphiquement, si tu préfères, la partie de la fonction n'admettra aucun plat ni aucun maximum pour l'intervalle concerné sera toujours de même signe :
f'(x) = f'(a) = f'(b) =/= 0 pour tout x appartenant [a;b].

Maxime

metrox, elieval étant en seconde, il n'a pas vu les dérivées normalement...

>elieval

En seconde tu as vu les valeurs absolues ?

soit f(x) = -x - 2 + |-x+1| + |2x+2|

Comment qualifierais-tu f(x) pour x > -1 ?

La courbe en image jointe

Philoux

"f'(x) = f'(a) = f'(b) =/= 0 pour tout x appartenant [a;b]."

Ceci est complétement faux.
Une fonction sur un intervalle [a,b] peut être dérivable et de dérivée nulle une infinité de fois et être strictement croissante pour autant.
Je ne sais pas pourquoi certains élèves et étudiants inventent cette fausse propriété, parce qu'elle ne se trouvera dans aucun cours.(sauf si le prof lui même affabule, mais j'en doute).

je n'ai pas tt compris mais j'ai compris mon erreur car j'avais écrit (a+b-20)<=0 or (a+b-20)<0 car si b=10 alors a<10
merci à tous!

otto , c'est écrit dans mon livre de terminale :

si f' est positive (resp. négative) sur I et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels de I alors f est strictement croissante (resp. décroissante)


Jord

Oui, ca c'est juste
La réciproque est fausse...

ah daccord je viens de comprendre

et pas moi

C'est simple, si une fonction f est dérivable et croissante sur un intervalle I, alors on ne peut pas dire que f'>0 sur I. (et par exemple f' peut même s'annuler une infinité de fois sur I)

a bon ?

si f croissante alors f' positive c faux ?

Si j'ai compris :

si f croissante alors f' positive ou nulle ?

Philoux

Exactement philoux, et il peut même arriver que f' soit positive que très peu de fois, voir nul part ou du moins, presque nulpart.

En fait il n'y a aucune raison que f'>0.
C'est la même chose que f'(x)=0 implique que x est un extremum.

>otto 14:02

Mais le terme "croissante" a bien un lien direct avec le signe de f' ?

qd tu dis :
En fait il n'y a aucune raison que f'>0

Tu penses à quelle(s) fonction(s) ?

Philoux

Salut philoux,
tout dépend de ce que tu entends par croissance.
La croissance au sens large, c'est vrai:
f croissante équivaut à f positive (sur une intervalle), croissant et positif étant au sens large.

Intuitivement on dirait que si on prend croissant au sens stricte, alors on a positif au sens stricte.
En fait c'est faux.
Je te propose deux exemples très simples:

x->x³ qui est dérivable partout sur R et donc la dérivée s'annule en 0, pourtant la fonction est strictement croissante.

Une autre fonction serait définie sur R tout entier par:
x->sin(x)+x
dont la dérivée s'annule en Pi+2kPi, pourtant je pense (à vérifier) que cette fonction est strictement croissante sur R

Tu veux dire les points où f'=0 ?

En revanche la courbe de 16:19, pour x>-1 n'est donc pas strictement croissante ?

Philoux,)

C'est bien lié à la notion de "nombre fini de points où f ' nulle" ?

entre -1 et 1 il y a une infinité de points où f'=0

Philoux

"C'est bien lié à la notion de "nombre fini de points où f ' nulle" ?"
En fait c'est lié à la nature topologique de l'ensemble des points où f s'annule.
là ton ensemble des points où f s'annule est un intervalle un peu particulier, c'est à dire que c'est un "vrai intervalle", ce n'est pas l'ensemble vide, ni un singleton. Donc en fait il y'a une infinité de points qui annulent f', mais il se "touchent tous". Il n'y a pas de trou entre eux.
Topologiquement, on parle d'intérieur non vide, c'est à dire que l'on peut trouver un ouvert non vide qui y soit inclus.
Là on peut maintenant trouver une relation entre la stricte croissance de f et une caractérisation de l'ensemble des points qui annulent f'.

otto

c'est cette phrase là, de ton post de 10:50, qui me fait tiquer :

...C'est simple, si une fonction f est dérivable et croissante sur un intervalle I, alors on ne peut pas dire que f'>0 sur I. (et par exemple f' peut même s'annuler une infinité de fois sur I)...


C'est le infinité de fois que je ne saisis pas.

Dans le cas du palier de la fonction avec les valeurs absolues, il y a bien une infinité de points où f ' est nulle et la courbe n'est cependant pas strictement croissante sur -1; oo ?

Tu expliques ?

Philoux

Ok, je vois, en fait infinité de fois est une condition nécessaire mais non suffisante.
Comme tu le vois f définie sur R par
f:=x->sin(x)+x
est strictement croissante, pourtant f' s'annule une infinité de fois (en les points Pi+2kPi)
Je ne connais pas tellement d'autre caractérisation, on ne peut pas y échapper, on doit passer par une caractérisation topologique de l'ensemble des points qui annulent la dérivée...
Dans ton exemple, tu me donnes un cas très simple, où ta fonction est constante sur un intervalle, et les intervalles, on les aime bien parce qu'ils sont "simples":
ils sont en un seul morceau ...

Autre chose:
ta fonction n'est pas dérivable.
Mais ca c'est pas tellement un problème...