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grand oral
Bonjour, je m'adresse a vous pour mon grand oral math.
J'ai rédiger mon grand orale de math et je les montrer mon prof de spé il m'a dit que c'était bien ect. Je vais vous l'envoyer pour me dire ce que vous en pensez mais surtout des questions probable que le jury peux me poser. Je ne cherche pas a faire quelque d'excellant me je ne veux avoir l'air devant le jury 
ps: mon grand oral est sur les fractals avec l'exemple tu triangle sierpinski
"Introduction
Aujourd'hui je vais vous parler de fractale ce sont des objets géométriques dont les motifs se répètent à différentes échelles. Triangle de Sierpinski est une fascinante fractale qui illustre le concept d'auto-similarité. Cette figure fractale, construite à partir de triangles diviser infiniment en d?autre triangles , exhibe une structure infiniment complexe et détaillée. En explorant le Triangle de Sierpinski, nous découvrirons comment l'auto-similarité se manifeste à travers ses motifs répétés, et comment cette fractale emblématique peut être utilisée pour illustrer les propriétés fondamentales des fractales.
I)Le Triangle de Sierpinski et sa construction
Le triangle de Sierpi?ski est une fractale, du nom de Wac?aw Sierpi?ski qui l'a décrit en 1915
Le triangle de Sierpi?ski se construit ainsi : nous prenons au départ un triangle équilatéral, nous le divisons en quatre triangles équilatéraux identiques, équivalents à un quart du triangle initial et nous retirons le triangle central. Nous reproduisons cette division dans les trois autres triangles. Nous pouvons continuer ainsi jusqu'à l'infini. Nous obtenons le triangle de Sierpi?ski.
1) Aire
Nous allons tout d'abord calculer l'aire ; on décide de choisir un le triangle équilatéral de coté 1 de départ. On note respectivement An l'aire à l'étape n, où n est un entier strictement positif.
Etape initiale : A0= ? 3/4 Etape 1 : A1= (3/4)* A0 = 0,3247 Etape 2 : A2= (3/4)*A1= 0,2435
A chaque étape, l'aire fait 3/4 de l'aire précédente. Nous pouvons donc généraliser avec une suite géométrique :
An= A0*(3/4)^n
=(? 3/4)*(3/4)^n
Nous avons déjà vu que les représentations graphiques des fractales, sont juste des représentations au bout de n repetition. Si l'on veut représenter la vraie fractale, il faudrait effectuer une infinité de repetition, ce qui est impossible. Mais on peut très bien étudier mathématiquement le comportement d'une fractale, et c'est ce que nous faisons. Calculons donc l'aire du triangle après une infinité de repitition, et pour ce faire, nous allons calculer la limite de (An) quand n tend vers l'infini :
lim ? 3/4 = ? 3/4
lim An = 0 Par produit
lim (3/4)^n = 0 car -1<(3/4)^n<1
La suite (An) converge vers 0, donc l'aire des triangles noirs est nulle au bout d'une infinité d'itérations. Cela peut paraître impossible, mais c'est pourtant la réalité.
Avant de passer a la deuxième partie nous allons faire un point sur l?auto-similarité
le Triangle de sierpinski est une figure auto-similaire car a chaque fois on enleve 3/4 du triangle donc on se trouve a chaque fois avec la fractal identique à lui même à plusieurs échelles
II)Dimension du triangle Sierpinski
Revoyons un peu les dimensions standard qui nous sont familières.
Un cube, une sphère et un cône sont tous des objets simples à trois dimensions.
Les cercles, les carrés, les triangles sont des objets à 2 dimensions.
La ligne, encore plus simple, est un objet unidimensionnel.
Le plus simple de tous est un point infiniment petit, qui est de dimension zéro.
Pour la dimension des objets on va utiliser La Dimension de Hausdorff
Commençons par une ligne d'une unité de long. Faisons maintenant la même chose avec un carré d'une unité de coté. Enfin, faisons la même chose avec un cube d'une unité d? arrête .
Si nous l'agrandissons d'un facteur 2, nous obtenons une ligne de 2 unités de long.Faisons maintenant la même chose avec un carré d'unité, on a un carré aux bords deux fois plus longs, nous obtenons quatre carrés.Enfin, faisons la même chose avec un cube d'une unité de côté. de sorte qu'il mesure deux unités de large et nous obtenons huit cubes d'une unité
La ligne s'agrandit linéairement lorsque nous l'agrandissons, le carré s'agrandit comme l'unité au carré et le cube s'agrandit comme l'unité au cube .
La relation entre le nombre total d'objets, N, le facteur d'agrandissement, r, et la dimension, D, peut être décrite par l'équation suivante :
N = r^D
A partir de cette formule on peut trouver la dimension D grâce au propriété des logarithme neperien : D = ln(N)/ln(r)
Utilisons la formule pour déterminer la dimension de la fractale du triangle de Sierpinski, N et r peut être trouver sur la figure :
D=1,585
La dimension du triangle de sierpinski est non-entiere elle est compris entre 1 et 2 ce qui logique car le triangle de Sierpinski s'inscrit dans le plan mais ne le remplit pas complètement
Conclusion
Le triangle de Sierpinski est un exemple fascinant de l'auto-similarité dans les fractales. L'auto-similarité signifie que chaque partie du triangle ressemble à une version plus petite du tout. Les fractales ont également des propriétés intéressantes, comme la dimension non-entiere d?une fractale. Le triangle de Sierpinski nous aide à comprendre ces propriétés en illustrant comment une structure simple peut engendrer une complexité infinie. "
Bonjour jolyne9.
Ton exposé est très intéressant.
Je me propose d'apporter un peu d'eau à ton moulin
L'auto-similarité signifie que chaque partie du triangle ressemble à une version plus petite du tout.
On va quand même préciser ce point, car le jury peut te demander de la faire.
Un ensemble est dit auto-similaire s'il peut être reformé à partir de contractions de lui-même.
Intuitivement, une contraction d'un ensemble S est un ensemble S' qui ressemble à S mais strictement plus petit.
Prenons un exemple simple :
Considérons le segment S = [0,1] avec deux homothéties h0 et h1 de rapport 1/2 et de centre respectifs 0 et 1.
Tu vois que h0 contracte S en le segment S0 = [0;1/2] et que h1 contracte S en le segment S1 = [1/2;1] et que tu peux reformer S en S0 U S1.
Donc S est auto-similaire.
Maintenant, partons d'un triangle (plein) ABC et considérons les homothéties hA, hB et hC de centre respectifs A, B et C et de rapport 1/2.
Soient A', B' et C' les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB].
hA transforme ABC en AB'C', hB transforme ABC en A'BC' et hC transforme ABC en A'B'C.
Mais si on recolle ces trois triangles, on retrouve pas le triangle d'origine ! --> il y a un triangle A'B'C' qui manque !
On pourrait chercher d'autres contractions, mais ce serait peine perdue. Donc un triangle n'est pas auto-similaire.
Pour trouver la figure auto-similaire issue d'un triangle, il faut réitérer à l'infinie cette opération.
Le résultat de cette suite d'opération est le triangle de Sierpinski.
Si tu fais passer le triangle de Sierpinski par ces trois homothéties, tu te retrouves avec trois triangles similaire à l'original (de surface 1/4 de l'original) et qui sont tels que tu peux reformer le triangle d'origine à partir des trois.
Le triangle de Sierpinski est donc auto-similaire.
Ensuite, effectivement, on peut montrer que la dimension s du triangle de Sierpinski vérifie
On a
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Le tétraèdre de Sierpinski a la particularité d'avoir pour dimension 2 : Partir d'un tétraèdre régulier SABC et considérer les 4 homothéties de centre les sommets et de rapport 1/2 et réitérer le processus à l'infini.
En conséquence, sa surface ne varie pas d'une itération à l'autre. A l'infini, sa surface est identique à celle du tétraèdre d'origine.
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L'octaèdre fractal part d'un octaèdre régulier à six sommets et les homothétie sont toujours de rapport 1/2.
Sa dimension vérifie donc
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Question que je laisse à ta perspicacité : que se passe-t-il si on part d'un carré ? d'un cube ?
On pourrait chercher d'autres contractions, mais ce serait peine perdue. Donc un triangle n'est pas auto-similaire.
C'est pas clair de ma part !
J'ai considéré les trois homothéties hA, hB et hC qui, à elles-seules, ne permettent pas de reconstituer le triangle ABC. (car chaque triangle image n'a qu'un quart de la surface totale et on n'a que trois triangles)
Il est bien entendu qu'à ces trois contractions on pourrait en rajouter une quatrième, à savoir celle qui transforme ABC en A'B'C' et là, on peut reconstituer le triangle ABC. Mais alors, avec ces 4 contractions, le triangle devient auto-similaire et bien entendu, plus de triangle de Sierpinski en vue.
Merci énormément pour vos réponses! si vous avez d'autres remarques ou questions possible dites le moi.
l'aire des triangles noirs est nulle au bout d'une infinité d'itérations. Cela peut paraître impossible, mais c'est pourtant la réalité.
Exactement, et pour être plus précis, il ne reste plus du triangle initial qu'un objet très creux qui ne possède plus du tout de triangle plein, sinon sa dimension de Hausdorff serait toujours 2. Tous les triangles pleins qui restent au fur et à mesure de la construction sont littéralement absorbés par les centres des homothétie c'est à dire par les sommets. (à la façon d'un trou noir)
En revanche, le triangle obtenu est en réalité formé de triangle creux de plus en plus petit : si tu calcules le périmètre de tous les triangles "vides" à l'étape N, tu trouves
A noter qu'on peut construire le triangle de Sierpinski d'au moins deux façons : soit, comme on l'a fait en partant de la dimension 2 et en supprimant des triangles au fur et à mesures. Soit en partant d'un triangle équilatéral vide et en rajoutant au fur et à mesure les segments qui joignent les milieux des cotés des triangles construits. Cette seconde façon permet de mieux apprécier la vacuité du triangle final (cette seconde construction est un peu comme le négatif photographique de la première).
Il y a un point intéressant dans ces 2 constructions, c'est que, dans les deux cas, à toutes les étapes intermédiaire, on reste dans la dimension de départ. Il n'y a qu'à la limite que la dimension change. L'infini n'a pas fini de nous surprendre !!!
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