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Niveau Maths sup
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groupe et centralisateur

Posté par
snoopynette
05-04-07 à 17:58

Bonjour,

Voilà, j'ai une difficulté avec une question sur un exercice:

Dans un groupe G, on appelle centralisateur d'un élément gG l'ensemble des éléments de G qui commutent avec g.
Montrer que le centralisateur d'un élément de G est un sous-groupe de G.

Bon alors là je suis supposée écrire de manière mathématique le centralisateur.
Si j'ai bien compris ce que c'est qu'un centralisateur, ça doit donner ça:
C = {xG / g   gx=xg }

Ensuite je dois montrer que C est un sous-groupe de G, c'est-à-dire que:
i) C
ii) a, b C, abC
iii) a C, a-1C

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si déjà le centralisateur est bon et ensuite si j'utilise la bonne méthode car là dans ce que j'ai fais ça ne fonctionne pas très bien.

Je vous remercie par avance.

Posté par Bluberry (invité)re : groupe et centralisateur 05-04-07 à 18:04

Bonjour,
Ta définition est bonne et ta méthode aussi.

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 05-04-07 à 22:37

Bonjour, il me semble, d'après la définition que tu en as donnée, que la notion de centraliseur n'est pas propre à un groupe, mais à un élément g de ce groupe.
Par conséquent, il me semble qu'on a plutôt
3$C(g)=\{x\in G |gx=xg\} (le g ne doit pas être quantifié)

Fractal

Posté par
Mahow
re : groupe et centralisateur 05-04-07 à 22:46

Oui Fractal a raison, là tu as pris la réunion des centraliseurs ...

Et si tu veux appronfondir, démontrer que le centre d'un groupe (ensemble des elements tel que leur centraliseur vaut G tout entier) est un sous groupe de G.

Bonne chance

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 30-10-15 à 07:11

Bonjour,

Tout d'abord, je tiens à préciser que le Fractal en vert ci-dessus n'a rien à voir avec le Fractal que je suis et qui écrit aujourd'hui (même pseudo) et qui rebondit sur le présent topic car dans mon cours, il est marqué ceci :

Si G est un groupe quelconque, A une partie quelconque de de G; l'ensemble suivant :
C_G(A)=\{x\in G\mid \forall A\in A,xa=ax\}
est un sous-groupe de G appelé centralisateur de A dans G.


Dans cette définition, le a est bien quantifié.

Quelqu'un serait-il en mesure de m'éclairer sur ce point ?

Je vous remercie.

Posté par Profil amethystere : groupe et centralisateur 30-10-15 à 09:26

slt

eh bien c'est confus tout ça!!

je reprend tout depuis le debut et sans LATEX (car tout ce qui a été dit ici est ... illisible voire faux)

G est un groupe et pour un élément a de G (et non pas une partie A de G) alors

si C(a) est le centralisateur de cet élément a alors on definit

C(a) est donc une partie de G qui se definie comme ceci C(a)={x est element de G | quelque soit x de G tel que xa=ax}

ici il n'est pas obligatoire que a soit dans C(a) mais tous les x de G qui verifient la phrase

quelque soit x de G tel que xa=ax alors ces x sont dans C(a)

ensuite alors on demontre que C(a) est un sous groupe de G

demonstration

tout d'abord on demontre que l'element neutre 1 est bien dans C(a)

a(x1)=ax=xa=(x1)a par consequent l'element x1 commute bien avec a

ensuite on demontre que pour tout couple d'éléments (x,y) est dans C(a)XC(a) alors xy est dans C(a)

en effet ax=xa et ay=ya de plus (ax)y=a(xy) or (ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a   donc l'element xy commute bien avec l'element a

enfin l'inverse de x qui est dans C(a) et que l'on note x^-1 est bien dans C(a) en effet

x^-1a=(x^-1a)1=(x^-1a)(xx^-1) = x^-1(ax)x^-1=x^-1(xa)x^-1=(x^-1x)(ax^-1)=1.(ax^-1)=ax^-1

on verifie bien que si l'element x est dans C(a) alors son inverse aussi puisque là on viens de voir que x^-1commute bien avec a

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 30-10-15 à 09:38

Au temps pour moi, toutes mes excuses, j'ai fait quelques fautes de frappe, dans mon cours c'est marqué (et cette fois-ci j'ai re-revérifié) :


Si G est un groupe quelconque, A une partie de G; l'ensemble suivant :
C_G(A)=\{x\in G\mid \forall a\in A,xa=ax\}
est un sous-groupe de G appelé centralisateur de A dans G.


Est-ce pour toi toujours aussi faux ?

Posté par Profil amethystere : groupe et centralisateur 30-10-15 à 09:51

toujours aussi faux car C_G(a) ou noté C(a) en sachant que a est dans G -un groupe- ici a n'est pas une partie de G mais est un element de G

je te le remet sous les yeux prend ton temps et relis tout attentivement

G est un groupe et pour un élément a de G (et non pas une partie A de G) alors

si C(a) est le centralisateur de cet élément a alors on definit

C(a) est donc une partie de G qui se definie comme ceci C(a)={x est element de G | quelque soit x de G tel que xa=ax}

ici il n'est pas obligatoire que a soit dans C(a) mais tous les x de G qui verifient la phrase

quelque soit x de G tel que xa=ax alors ces x sont dans C(a)

ensuite alors on demontre que C(a) est un sous groupe de G

demonstration

tout d'abord on demontre que l'element neutre 1 est bien dans C(a)

a(x1)=ax=xa=(x1)a par consequent l'element x1 commute bien avec a

ensuite on demontre que pour tout couple d'éléments (x,y) est dans C(a)XC(a) alors xy est dans C(a)

en effet ax=xa et ay=ya de plus (ax)y=a(xy) or (ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a   donc l'element xy commute bien avec l'element a

enfin l'inverse de x qui est dans C(a) et que l'on note x^-1 est bien dans C(a) en effet

x^-1a=(x^-1a)1=(x^-1a)(xx^-1) = x^-1(ax)x^-1=x^-1(xa)x^-1=(x^-1x)(ax^-1)=1.(ax^-1)=ax^-1

on verifie bien que si l'element x est dans C(a) alors son inverse aussi puisque là on viens de voir que x^-1commute bien avec a

Posté par
ThierryPoma
re : groupe et centralisateur 30-10-15 à 12:23

Bonjour,

N'importe quoi ! L'on a bien

C_G(A)=\left\{g\in{G}\mid(\forall\,a)(a\in{A}\Rightarrow{g\,a=a\,g})\right\}=\bigcap_{a\in{A}}\left\{g\in{G}\mid{g\,a=a\,g}}\right\}=\bigcap_{a\in{A}}C_G(\{a\})

Cela étant dit, que veux-tu savoir Fractal ?

Posté par Profil amethystere : groupe et centralisateur 30-10-15 à 13:07

n'importe quoi!!

les mecs relisez le premier post!

je rappelle la question

Citation :
Dans un groupe G, on appelle centralisateur d'un élément gG l'ensemble des éléments de G qui commutent avec g.
Montrer que le centralisateur d'un élément de G est un sous-groupe de G.


et la solution ici->

G est un groupe et pour un élément a de G (et non pas une partie A de G) alors

si C(a) est le centralisateur de cet élément a alors on definit

C(a) est donc une partie de G qui se definie comme ceci C(a)={x est element de G | quelque soit x de G tel que xa=ax}

ici il n'est pas obligatoire que a soit dans C(a) mais tous les x de G qui verifient la phrase

quelque soit x de G tel que xa=ax alors ces x sont dans C(a)

ensuite alors on demontre que C(a) est un sous groupe de G

demonstration

tout d'abord on demontre que l'element neutre 1 est bien dans C(a)

a(x1)=ax=xa=(x1)a par consequent l'element x1 commute bien avec a

ensuite on demontre que pour tout couple d'éléments (x,y) est dans C(a)XC(a) alors xy est dans C(a)

en effet ax=xa et ay=ya de plus (ax)y=a(xy) or (ax)y=(xa)y=x(ay)=x(ya)=(xy)a   donc l'element xy commute bien avec l'element a

enfin l'inverse de x qui est dans C(a) et que l'on note x^-1 est bien dans C(a) en effet

x^-1a=(x^-1a)1=(x^-1a)(xx^-1) = x^-1(ax)x^-1=x^-1(xa)x^-1=(x^-1x)(ax^-1)=1.(ax^-1)=ax^-1

on verifie bien que si l'element x est dans C(a) alors son inverse aussi puisque là on viens de voir que x^-1commute bien avec a

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 30-10-15 à 14:46

Je pense que j'aurais dû ouvrir un topic spécifique car là, ça prête à confusion.

Posté par Profil amethystere : groupe et centralisateur 30-10-15 à 15:37

pourquoi?

Fractal repondait au premier post et toi à celui de Fractal non ?

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 31-10-15 à 09:46

Non, pas du tout, mais je comprends que ce ne soit pas forcément très clair de prime abord.

Je posais simplement une question par rapport à ce qui est indiqué dans mon cours (mon post de 07:11 rectifié à 09:38), et par rapport au fait que Fractal en vert évoquait initialement  la non quantification de l'élément g.

Fractal inital :
\normalsize C(g)=\{x\in G |gx=xg\} (le g ne doit pas être quantifié)

Moi :
Si G est un groupe quelconque, A une partie de G; l'ensemble suivant :
C_G(A)=\{x\in G\mid \forall a\in A,xa=ax\}
est un sous-groupe de G appelé centralisateur de A dans G.


Il a donc 2 différences :

\normalsize C(\textcolor{red}{g})=\{x\in G |gx=xg\}

C_G(\textcolor{red}{A})=\{x\in G\mid \textcolor{red}{\forall} a\in A,xa=ax\}

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 31-10-15 à 09:47

*Il y a donc 2 différences

Posté par
luzak
re : groupe et centralisateur 31-10-15 à 13:17

Bonjour !
La différence c'est l'ensemble : réduit au singleton \{g\} dans le centralisateur d'un élément g. Il est sous-entendu qu'on confond C(g) et C(\{g\})
Tu aurais pu écrire : C(g)=\{x\in G|\forall a\in\{g\},ax=xa\} (une écriture avec \forall g\dots n'est pas possible puisque g est un élément donné) !

Posté par
Fractal
re : groupe et centralisateur 31-10-15 à 18:27

Ok, je te remercie.



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