Bonsoir,
Je suis pas certain de pouvoir t'aider, car je ne sais plus comment on fait avec cette méthode.
En revanche, j'ai  un peu planché dessus et j'ai obtenu un résultat, ca pourra te servir à (si mes calculs sont bons ^^)
alors voilà,
Soit A l'aire du domaine D= {(x,y)R² | x²+y²≤ 1 & (x-1)²+y²≤1 }

on a A = 2 Aire(D')
   avec : D' = {(x,y)R² | x²+y²≤ 1 & (x-1)²+y²≤1 & y≥0 }

(par symétrie par rapport à l'axe des abscisses du domaine D)

puis A = 4 Aire(D'')
     avec : D" = {(x,y)R² | x²+y²≤ 1 & (x-1)²+y²≤1 & y≥0 & x≥ 1/2 }

(par symétrie par rapport à la droite d'équation x=1/2)

une foi ces remarques faites, on considère C : x (1-x²)
dont le support sur [0.5,1] est le "huitième" de cercle unité ( pour [0,/3] en polaires ... )

(Là on comprend l'importance des petits schémas... )

L'aire sous la courbe représentative de C sur [0.5,1] nous donne 1/4*A ...


  

On effectue un changement de variable de classe C¹ :
puis on linéarise pour calculer l'intégrale :

Ce qui nous donne :


     (ceci exprimé en unité d'aire ...)

Si je n'ai pas fait d'erreurs de calculs ou de raisonnement ...

Voilà, bonne soirée & bon courage.

Correction :
il manque un bout de phrase -> "ca pourra te servir à vérifier tes résultats" *.

bonne soirée & bon courage.

Merci bcp j ai bien compris mnt !

Si on veut absolument mettre des intégrales doubles!

On a deux cercles de rayons 1, de centres A et B (sur la figure) qui se coupent en C. La moitié de l'aire commune est donc constituée d'un triangle équilatéral de côté 1 et d'aire et de deux petites "lunules" (en rouge) d'aires .
L'aire de l'intersection est donc:

Merci Lazouil ,j ai aimé ton raisonnement ,il faut juste mettre pi/6  au lieu de pi/3
Merci bcp Jver mais je ne comprends pas bien tes calculs S : !
ca m'a fait énormement plaisir de recevoir vos réponses (:

L'aire de la lunule est la différence entre l'aire d'un sixième du cercle de rayon 1, soit   - et non   comme je l'ai indiqué par erreur-  et le triangle équilatéral de côté 1, .
Donc, l'aire de la lunule est .

L'aire totale est  constituée de deux triangles équilatéraux et quatre lunules, soit

Si le problème est un problème de calcul intégral, fais tes intégrales; si le problème est un calcul de surface, la géométrie est beaucoup plus rapide. Mais les résultats devraient être identiques, ce qui ne paraît pas le cas!

parfait ! je comprends bien mnt merci bcp Jver  (:

en utilisant les deux méthodes les résultats ne sont pas identiques !! en utilisant la première méthode de Lazouil on  trouve que  A= -2pi/3- racine(3)/2 et en utilisant la deuxiéme méthode de Jver on trouve que
A= 2pi/3 -racine(3) /2
c pas un probléme de raisonnement je pense mais quelqu un pourra m éclairer ça plus svplé !comment je peux trouver les memes résultats en utilisant deux méthodes differentes !
et merci d 'avance de m'avoir aider
      

Non, moi je trouve pareil. En prenant  D" = {(x,y)R2 | x2+y2≤ 1 & (x-1)2+y2≤1 & y≥0 & x≥ 1/2 }, j'ai donc:

et je retrouve bien la valeur de l'autre méthode

c est une integration par partie?
en fait si je pose x=sin(teta) je trouve  A= -2pi/3- racine(3)/2  (pr la première méthode)

Non, je ne pense pas! Pose   et l'intégration se fait plus ou moins à vue.
Il n'y a pas de problème et on trouve les mêmes valeurs quelles que soient les méthodes
Soit dit en passant, il y a une autre démonstration géométrique:
Sur la figure, l'aire hachurée en rouge est le quart de l'aire cherchée. Elle est égale à 1/6 de l'aire du cercle - l'aire d'un 1/2 triangle équilétéral.
Donc, le 1/4 de l'aire cherchée est
On multiplie par 4 et on retombe sur

J'ai un peu regardé où il pouvait y avoir une erreur.
C'est là:

Attention au signe

Merci !
c vrai j ai pas fais attention au signe !
mais concernant ta deuxiéme méthode je vois l'aire d'un  1/2 de triangle équilatéral +quelque chose c à d
l aire de  la lunule ce qui ramene à ta première méthode !

autre chose stplé comment t as trouvé arcsin? c juste par une integration par partie?
merci