Bonjour,

La seconde égalité résulte simplement de la formule de Taylor appliquée à .
La première est moins simple.
On peut la démontrer en appliquant la formule du binôme à puis en utilisant la propriété
qui est valable pour tout polynôme de degré (il faut supposer sinon c'est faux).
Ensuite on dérive j fois , on arrange les factorielles et on obtient le résultat voulu.

Merci beaucoup pour votre aide.

On peut démontrer plus simplement la première égalité de la façon suivante.
On applique la propriété au polynôme (bien distinguer et ).
On obtient .
Ensuite on dérive fois par rapport à puis on divise par .
En distinguant les cas , et on obtient le résultat demandé en remplaçant par .

Cette 2eme méthode est beaucoup plus simple. Merci beaucoup.