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Quadrilatère convexe

Posté par
adrigoune 25-12-15 à 17:05

Bonjour,
J'ai un petit problème qui est le suivant: Soit un quadrilatère convexe ABCD, on divise les côtés AB, CD ,AD et CA en parties égales.
En joignant les points de division des côtés opposés, on crée un quadrillage dont les droites se coupent
Je cherche à montrer par récurrence que toutes les intersections sont des milieux ? dans le cas on l'on divise chaque coté du quadrilatère par 2 il est aisé de le montre ( Parallélogramme de Varignon. ) mais dans le cas où les divise par 3 et par n je n'y arrive pas, une idée ?
Merci

Quadrilatère convexe

Posté par
LeHiboure : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 00:01

Bonsoir,

Le montrer pour un carré, et montrer que la propriété est conservée par déformation projective ?

Posté par
luzakre : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 10:10

Bonjour !
Par "déformation projective" il n'y a aucune raison que la découpe en "parties égales" soit conservée.

Posté par
Glapion Moderateurre : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 11:07

Ou peut-être uniquement avec les barycentres à partir des coordonnées de A;B;C;D puis de celles des points sur les cotés, calculer les coordonnées des points du milieu etc...
mais c'est vraiment affreusement calculatoire.

Posté par
luzakre : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 14:26

Oui, c'est une idée. On pourrait prendre la base affine A,B,C mais écrire des alignements de points avec des coordonnées barycentriques, il faut connaître (le niveau "Autre licence" est-il suffisant ?) et il y aura des déterminants 3*3 en pagaille !

Posté par
luzakre : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 22:08

Finalement ce n'est pas si terrible.
Soit (u,v)\in\R^2, \;I=A+u\vec{AD},\;J=B+u\vec{BC},\;K=A+v\vec{AB},\;L=D+v\vec{DC}.
Alors les droites IJ,\;KL se coupent en M tel que \vec{IM}=v\vec{IJ},\vec{KM}=u\vec{KL}.

En effet, soit M_1=I+v\vec{IJ}.
On a \vec{AM_1}=u\vec{AD}+v(\vec{AJ}-\vec{AI})=u\vec{AD}+v(\vec{AB}+u\vec{BC}-u\vec{AD})=u(1-v)\vec{AD}+uv\vec{AC}+v(1-u)\vec{AB}.
De même, si M_2=K+u\vec{KL} on trouve \vec{AM_2}=u(1-v)\vec{AD}+uv\vec{AC}+v(1-u)\vec{AB} ce qui prouve le résultat avec M_1=M_2=M.

Maintenant si (n,p,q)\in\N^3 en notant X_p la droite joignant  A+\dfrac{p}{n}\vec{AD},\;B+\dfrac{p}{n}\vec{BC}, Y_q la droite joignant  A+\dfrac{q}{n}\vec{AB},\;D+\dfrac{q}{n}\vec{DC} on voit que les droites X_p,\;2\leqslant p\leqslant n découpe sur chaque droite Y_q,\;2\leqslant q\leqslant n des divisions égales. Idem pour les droites Y_q sur chacune des droites X_p.

Posté par
luzakre : Quadrilatère convexe 27-12-15 à 22:10

"découpent" évidemment.


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