Ou alors est-ce que je peux étudier les variations de f (avec l'aide de sa dérivée première), et en déduire le sens de variation de (u_n).

NB : u₀ = 1, dc la suite (u_n) serait tjs à termes positifs.

Pr autant, comment varie-t-elle ?

Je ne trouve pas.. Aiuto !

Bonjour,

Tu montres que par récurrence tu as toujours Un > 0

La limite, si elle existe, satisfait à L = 10/(L+2), donc ce n'est pas 2

Et la suite n'est pas monotone, pour t'en persuader tu peux calculer les premiers termes, ils oscillent de part et d'autre du terme que tu auras obtenu comme limite

Sur le graphe ci-dessous, j'ai tracé 10(x+2), x, le point d'intersection est précisément en L, et la suite...

Bonjour Le hibou

Exxact, j'ai retracé le même ci-dessous avec U0 = 1 (merci Sinequanon), le comportement qualitatif reste le même.

Merci LH

je me sers aussi de SQN (mais je n'y pense jamais pr les suites)

Je trouve cet outi très bien fait (fonction, intégrales) ; est-ce que comme moi tu constates que l'outil est devenu bcp + lent à réagir aux instructions (extension  de la zone de traçage, demande de tracé de courbe, chgt d'échelle ...)

Je n'ai pas de pb de lenteur avec les autres logiciels

je rencontre ce pb aussi bien sur mon fixe que sur mon portable (je parle du PC bien sûr)
j'ai téléchargé une nouvelle version mais ça ne change rien


Merci de me dire

Non, je n'ai pas rencontré de ralentissement, mais j'ai une plutôt grosse machine, et elle tient la charge...

Pour la suite du pb, tu dois maintenant montrer que |Un - L| est décroissante et tend vers 0. Sans avoir fait le calcul, une méthode classique consiste à montrer que pour n assez grand tu as |Un+1 - L|/|Un-L| est majorée par une constante k < 1, d'où on déduit immédiatement |Un - L| |U0 - L|kⁿ et donc |Un - L| -> 0
A toi de jouer...

Bonsoir

je ne l'ai jamais fait . Peux-tu me metre un peu + sur la voie stp

merci

Ce qui me bloque au départ : prquoi montrer que |u_n - L| décroit ? Cette valeur de l'expression  pourrait - enfin il me semble - tt aussi bien être croissante, ce qu'il faudrait montrer ici avant tt, c'est que pr n très grand ( ou n tendant vers +), |u_n - L| tend vers 0, non ?

C'est une condition suffisante, elle n'est effectivement pas nécessaire, mais si on peut la prouver on a gagné...
Sachant que Un+1 = 10/(Un + 2) et qur L = 10/(L + 2), on a :
Un+1 - L = 10(1/(Un + 2) - 1/(L + 2))
= 10(L+2 - (Un+2))/[(L + 2)(Un + 2)]
= 10(L - Un)/[(L + 2)(Un + 2)]
Sachant que Un est > 0 et L est > 0, on déduit déjà de cette expression qur Un+1 - L et Un - L sont de signes opposés, donc que les Un sont alternativement d'un côté de et l'autre de L.
De plus, on a :
|Un+1 - L|/|Un - L| = 10/[(L + 2)(Un + 2)]
On serait bien content d'avoir
10/[(L + 2)(Un + 2)] < 1
Supposons un instant que Un soit "assez proche" de L, on aurait alors 10/[(L + 2)(Un + 2)] "assez proche" de 10/(L+2)²
Or, avec L 11 - 1, on a 10/(L+2)² 0,54 < 1 ce qui est compatible avec mon post de 15h21.
Malheureusement, la démonstration rigoureuse de la convergence d'une telle suite est plus délicate : il faut considérer séparément la suite des termes de rang pair U0, U2, U4..., montrer qu'elle est croissante, la suite des termes de rang impais U1, U3, U5..., montrer qu'elle est décroissante, et enfin montrer que les deux suites sont adjacentes et convergent vers L.
Tu trouveras la démonstration complète ici :

Bonsoir Le hibou.

je ne comprends pas ceci :

On arrive à
Un+1 - L = 10(L - Un)/[(L + 2)(Un + 2)]
Posons pour simplifier K = 10/[(L + 2)(Un + 2)], tu as montré L > 0 et Un > 0, donc on a K > 0
l'expression devient
Un+1 - L = K(L - Un)
que tu peux encore écrire
Un+1 - L = -K*(Un - L)
et là sachant que K est > 0 il est évident que si Un - L est > 0, alors Un+1 - L est < 0 et réciproquement.
Donc Un+1 - L et Un - L sont de signe opposé.

C'est parfait, merci Le hibou.

Je me souviens maintenant d'un exercice où pr prouver la convergence d'une telle suite (on lui dit 'alternée' je crois), on extrayait deux sous -suites avec ses termes pairs resp. impairs et on montrait que les 2 suites sont adjacentes.

Je vais consulter le document en lien ; s'il est bien fait je me l'imprime et le conserverai comme référence pr l'étude des suites numériques.

Pour ta culture, dans le document, section 5.3, tu trouveras une condition suffisante de convergence sur la dérivée de la fonction qui définit la récurrence, en l'occurrence ici f(x) = 10/(x+2). Cette condition est |f'(x)| q < 1 au voisinage de L.

Remarque alors que tu as ici |f'(x)| = 10/(x+2)², et rappelle-toi que hier j'écrivais :

Supposons un instant que Un soit "assez proche" de L, on aurait alors 10/[(L + 2)(Un + 2)] "assez proche" de 10/(L+2)². Or, avec L = 11 - 1, on a 10/(L+2)² 0,54 < 1...

Tu remarqueras que ce terme 10/(L+2)² est précisément |f'(L)|

D'une certaine façon, c'est une version "intuitive" de ce résultat général que je voulais te faire toucher du doigt dans ce cas particulier

Bonjour le Hibou

Je dirais que, comme les points Un se resserrent autour de L, si on commence entre 2 et L à gauche de L, et symétriquement de l'autre côté de L, on n'aura jamais Un = L.
Donc l'intervalle que je proposerais commencerait à 2 et finirait à L + (L-2), soit 2L-2, donc ce serait [2;2L-2]