Bonsoir à tous !
Bonne réflexion !
On donne et
Montrer que :
ou
Le plus direct serait de le faire analytiquement, mais c'est très long.
Une solution géométrique serait la bienvenue.
Bonjour,
j'ai bien vu l'heptagone là dedans
et une construction géométrique de l'heptagone en utilisant un trisecteur d'angle fait bien apparaitre ce (Conway in "Le Livre des Nombres")
dans un cercle unité, on trace un réseau de triangles équilatéraux de côté la moitié du rayon (en bleu)
les points U, V, W sont des sommets de ce réseau
les trisecteurs de l'angle WUV (en mauve) coupent l'axe en les points X1, X2, X3 qui sont les cosinus cherchés
on calcule facilement que et donc
on obtient les cosinus de l'énoncé en échangeant les axes.
mais "les propriétés géométriques" (alias la justification de cette construction) se ramène à déterminer l'équation dont les cosinus sont solutions... (via les racines nèmes de l'unité puis la résolution d'une équation du 3ème degré par trisection d'un angle)
Bonsoir,
La méthode analytique est assez rapide.
En utilisant
on arrive immédiatement à
et en posant on obtient bien
dont les racines sont les pour .
Bravo à vous !
mathafou J'ai trouvé une version de ce livre sur internet uniquement en broché. Y a t il un moyen d'obtenir la version numérique ?
aucune idée pour l'existence de versions numériques de livres papier publiés.
(ou la version anglaise d'origine chez Springer Verlag "The Book of Numbers" 1996)
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