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Suites avec polygones réguliers

Posté par
Lowlow93 24-01-11 à 19:23

Bonjour j'ai un dm pour jeudi ... Je n'arrive pas a le comprendre et donc a le faire, je remercie d'avance celui ou celle qui aura la gentillesse de parvenir a mon secours.
En attente d'une réponse désespérément...
Voici l'énoncé (assez long désolée )

Pour construire un polygone à n cotés, on trace un cercle de centre O, au point O on sépare le plan en n angles. Les sommets du polygone seront les intersections du cercle et des angles.

Pour un polygone régulier à n cotés, n3
On appelle un l'angle (OA1; OA2), an l'angle (A2A3 ; A2A1) (les angles sont des vecteurs je ne trouvais pas la petite flèche du dessus) et dn le nombre de diagonales.
On rappelle qu'une diagonale est un segment joignant deux sommets non consécutifs d'un polygone.

1) Etude de quelques exemples
   a) A l'aide du logiciel géogebra (ou géoplan), tracer 5 polygones réguliers respectivement à 3,4,6,7,8 côtés, imprimer.
   b) Donner les valeurs de u3,u4,u6,u7,u8 de a3,a4,a6,a7,a8 et de d3,d4,d6,d7,d8

2) Etude de la suite u. Exprimer un en fonction de n puis étudier les variations de u.

3) Etude de la suite a. Exprimer an en fonction de n (justifier) puis étudier les variations de a.

4) Etude de la suite d
   a) Combien de diagonales partent d'un sommet d'un polygone à n côtés?
   b) Supposons que l'on passe d'un polygone à n côtés à un polygone à n+1 coté en ajoutant simplement un sommet, combien de nouvelles diagonales apparaissent?
   c) En déduire l'expression de dn+1 en fonction de dn et de n.
   d) Etudier les variations de d.
   e) Programmer cette suite à la calculatrice. Donner la valeur de d21
   f) Est-il possible d'obtenir un polygone régulier à 100 diagonales, pourquoi?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 10:23

Bonjour,

Tu en es à quelle question ? Quels mots précisément tu ne comprends pas ?

Nicolas

Posté par
Lowlow93Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 16:25

Ben je n'ai pas commencé.. Je ne comprends pas les questions...
Deja le petit a) du 1) avec Geogebra sa devrait aller mais après les autres...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 16:28

Fais les questions dans l'ordre. Résous 1.a puis propose quelque chose pour 1.b, et je t'aiderai avec plaisir.

Posté par
Lowlow93Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 17:08

Oui je veux bien mais le seul problème c'est que je ne comprends pas trop la question 1) b)
Comment peut-on donner les valeurs si les suites sont des "angles et des diagonales" ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 17:13

Je ne comprends pas ta question.
Que représente u6 pour toi ? Merci de répondre précisément.

Posté par
Lowlow93Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 19:41

Oui c'est bien ça

Posté par
Lowlow93Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 19:42

Oui c'est bien ca, je ne sais pas que représente u6 par exemple et comment peut-on l'obtenir car je ne vois pas du tout

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 21:57

Je pense qu'il faut que tu commences par lire l'énoncé !

Citation :
Pour un polygone régulier à n cotés, on appelle un l'angle (OA1; OA2)

u6 est donc l'angle (OA1; OA2) dans le cas d'un polygone régulier à 6 côtés. Donc que vaut u6 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 22:05

1.a. Cas n=3

(réalisé avec Geogebra)

Suites avec polygones réguliers

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 22:12

1.a. Cas n=8

(réalisé avec Geogebra)

Suites avec polygones réguliers

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 25-01-11 à 22:13

1.b. Je te laisse faire une proposition.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 15:37

Je suis désolée je n'ai toujours pas compris depuis 14h je bloque sur cette première question alors que les autres je pense y arriver...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 15:41

u3 est indiqué sur ma figure ci-dessus.
Il s'agit du tiers (puisque 3 côtés) d'un angle complet (2pi)
donc \fbox{u_3=\frac{2\pi}{3}}
Etait-ce si compliqué ?

Pour a3, tu ne sais pas que les angles d'un triangle équilatéral mesurent tous pi/3 (60°) ?
\fbox{a_3=\frac{\pi}{3}}

Continue...

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 15:53

merci, j'ai compris le raisonnement donc pour u4 = 2/4, u6 = 2/6, u7 = 2/7 et u8 = 2/8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 15:55

OK avec la série des u.

Pour la série des a, utilise la propriété angle inscrit / angle au centre.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:06

d'accord merci j'ai compris
Pour a3, j'ai trouvé 2/6 ce qui vaut 60 degrès.
Est-ce bien ca ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:09

La réponse à ta question est dans l'un de mes messages précédents, non ?

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:10

Je voulais juste confirmation !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:14

Qu'est-ce qui te semblait insuffisamment clair dans mon message de 15h41 indiquant \fbox{a_3=\frac{\pi}{3}} ?

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:15

Pour d3 = 3 (diagonales)
d4 = 2
d6 = 3
d7 = 7
d8 = 4

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:18

A mon avis d3 = 0 : un triangle n'a pas de diagonale, non ?
d4 = 2, OK
Pas d'accord avec les suivants.
Peux-tu poster ta figure avec n=6 ? Tu ne vois que 3 diagonales ?

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:25

Desolée, j'ai fait les schémas a main levée.
Oui je trouve bien 3 diagonales car c'est un hexagone
donc d6 = 3
d7 = 0
d8 = 4

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:30

Un hexagone n'a pas 6 diagonales, il en a 9.
Cf. http://www.ac-paris.fr/portail/upload/docs/image/png/2010-11/diagonales-hexagone.png

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:33

Oui effectivement! Merci.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:34

d7 et d8 sont également à corriger.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:37

d7 = 10
d8 = 20

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:38

OK pour d8 mais pas pour d7.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:43

14 ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:44

Oui.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 16:55

Merci de votre aide.
Comment peut-on faire pour étudier la suite un avec tout ce qu'on vient de trouver ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 16:58

2. Quelle expression de un en fonction de n as-tu ?

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 17:34

u4 = 2/4, u6 = 2/6, u7 = 2/7 et u8 = 2/8

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 17:35

plus u3 = 2/3

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 17:47

Donc un = ???

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 17:49

donc on additionne tous les u?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 17:56

u_{\fbox{3}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{3} côtés : u_{\fbox{3}}=\frac{2\pi}{\fbox{3}}

u_{\fbox{4}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{4} côtés : u_{\fbox{4}}=\frac{2\pi}{\fbox{4}}

u_{\fbox{6}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{6} côtés : u_{\fbox{6}}=\frac{2\pi}{\fbox{6}}

u_{\fbox{7}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{7} côtés : u_{\fbox{7}}=\frac{2\pi}{\fbox{7}}

u_{\fbox{8}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{8} côtés : u_{\fbox{8}}=\frac{2\pi}{\fbox{8}}

u_{\fbox{n}} est l'angle \left(\vec{OA_1},\vec{OA_2)\right) dans le cas d'un polygône à \fbox{n} côtés : u_{\fbox{n}}=\frac{2\pi}{\fbox{\fbox{???}}}

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 17:57

Ouiii ! 2/ n

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 17:59

Bravo !

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:01

Donc maintenant, on peut étudier les variations en remplaçant n par n+1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 18:18

Applique les méthodes vues en cours.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:22

Oui c'est ce que je suis en train de faire

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:40

J'ai un soucis. Je trouve 2/n(n+1)
2 3
n 3
n+1 4 > 3
donc n(n+1) > 3
Donc u est croissante.

Mais d'après les résultats précédents, normalement u doit etre décroissante... Je ne vois pas mon erreur...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 18:41

Qu'est-ce qui est égal à 2.pi/(n(n+1)) ? Tu ne le dis pas.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:43

On a un = 2 pi / n
et un+1 = 2 pi / n+1


Donc un+1 - un = 2 pi / n(n+1)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 18:47

Non.

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:48

quoi non ?

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:49

- 2 pi / n(n+1)

Posté par
Lowlow93re 26-01-11 à 18:56

Comment peut-on faire la question 3 ??
Car je trouve divers réponses ...
a3 = 2 pi / 6
a4 = pi / 6
a6 = 2 pi / 3
a7 = 2 pi / 7
a8 = 2 pi / 8

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Suites avec polygones réguliers 26-01-11 à 18:59

2) OK avec le nouveau calcul. On trouve bien une suite décroissante.

1)b) Je ne suis pas d'accord avec la plupart des tes valeurs de an.
Quel a été ton raisonnement ?

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