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Trigonométrie N°3
Bonsoir
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice.
Chapitre : Trigonométrie
Voici l'énoncé :
On pose P (x)= 4x3+2x2-2x-1.
1.a) Calculer P (-1/2) et en déduire une factorisation de P.
b) Résoudre dans R l'équation P (x)=0, étudier le signe de P(x).
2.a) Montrer que, pour tout réel x, on a cos (3x)= 4cos3x- 3cosx.
b) En déduire que pour tout réel x,
cos (3x)+cos (2x)+cos (x)= 4cos3x+2cos2x- 2cosx-1.
c) En déduire la résolution dans R:cos (3x)+cos (2x)+cos (x)=0
3. Résoudre [0; 2pi[ l'inequation cos (3x)+cos (2x)+cosx <0
Merci d'avance 
Bonsoir,
Tu dois pouvoir sans problème savoir déjà répondre aux questions 1a) et 1b) !!
Que trouves-tu pour P(-1/2) ?
Bonjour fenamat84
1.a)
P (x)= (x+1/2)(4x2-2)
1.b)
x= -1/2 ; x= 1/2 ou x = - 1/2
Étudier le signe de P ( x )
P est négatif si x 
]-inf; 1/2]
P est positif si x [1/2 +inf [
C'est juste ?
1a) P(-1/2) = 0 OK.
et la factorisation de P est juste : P(x) = (x + 1/2)(4x²-2).
1b)
x= -1/2 ; x= 1/2 ou x = - 1/2
On a bien soit :
x + 1/2 = 0 <=> x = -1/2.
Par contre les racines que tu as trouvées pour 4x²-2 = 0 sont fausses !!
Tu peux aussi l'écrire :
Quant au signe de P, tu te laisse de modifier car c'est bien sûr faux...
Ok
x= 
2/2 et x= -2/2 <==>
P est positif si x ]-inf; -2/2] U [2/2; + inf [
P est négatif si x [-2/2 ; 2/2]
C'est bon ?
Non, et la racine x=-1/2 ?? Il ne faut pas l'oublier en cours de route !!
Tu connais le signe de x+1/2 :
Négatif si x]-inf;-1/2]
Positif si x[-1/2 +inf [
Tu connais aussi le signe de 4x²-2 : tu viens de le faire à l'instant.
Enfin, il suffit de construire un tableau de signe final pour en déduire le signe du produit (x+1/2)(4x²-2). (tu dois avoir 3 racines pour rappel)
Oui
Donc P est positif si x appartient à:
[-2/2 ;-1/2] U [2/2; +inf [
P est négatif si x appartient à:
]-inf; -2/2]U [-1/2; 2/2] ?
Là c'est correct.
2a) Pour montrer que cos (3x)= 4cos3x- 3cosx
cos (3x) = cos(2x+x)
Puis utiliser la formule cos(a+b) = cos(a) cos(b) - sin(a) sin(b)
Ok
j'ai continué je n'ai pas encore eu la relation car j'ai utilisé ensuite la formule de transformation en remplaçant chaque membre par son équivalent. C'est bon ?
= cos( x)cos (2x)-sin (x) sin(2x)
Ok.
Puis utilises le fait que :
cos(2x) = 2cos²(x)-1
et sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Sans oublier l'inoubliable cos²(x)+sin²(x)=1.
Oui.
L'expression de cos(3x) à trouver ne contient que des cosinus. Cela incite à transformer en cosinus les sinus de ton expression de 1h11.
Continues le calcul. Développes et n'oublies pas : cos²(x)+sin²(x)=1 !!
Tu arriveras au résultat souhaité.
On a :
cos(x) 2cos2(x)-cos (x)-sin (x) 2sin (x) cos (x)
Or sin(x)sin(2x)= 1/2 [cos (x-2x)-cos (x+2x)]
= 1/2 [cos (x)-cos (3x)] ?
Il faut quand même que tu saches simplifier tes calculs !!
cos(x)*2cos²(x) = ....
sin(x)*2sin(x) = ...
Voilà !!
Et donc on y arrive...
2cos3(x)-cos(x)-2sin²(x)cos(x)
Or sin²(x)+cos²(x) = 1. Donc sin²(x) = 1-cos²(x).
Tu peux donc terminer ce calcul.
Oui
2cos3(x)-cos (x)-2 (1-cos2(x)) cos (x)
2cos3(x)-cos (x)-2cos (x) +2cos3(x)
4cos3(x)-3cos (x)
cos(3x)= 4cos3(x)-3cos (x)
Super
Voilà !!
2b) Cette question ne devrait pas te poser trop de problème.
Il suffit de t'aider de la question 2a.
Oui
cos (3x)+cos (2x)+cos (x)
= 4cos3(x)-3cos (x)+cos (2x)+cos (x)
Or cos (2x)= 2cos2(x) -1 ==>
4cos3(x)+2cos2(x)-2cos (x)-1 ?
Ok.
2c) Cela revient donc à résoudre : 4cos3(x)+2cos²(x)-2cos (x)-1 = 0
En posant X = cos(x), on retombe sur la l'équation donnée à la question 1 :
4X3+2X²-2X-1 = 0
Dont tu as déjà trouvé les solutions.
Bonjour fenamat84
2. c)
Donc X= 1/2; X=2/2 ou X= -2/2 <===>
x= 2pi/3 +2kpi
x= -2pi/3 +2k'pi
x=pi/4 +2kpi
x= -pi/4 +2k'pi
x= 3pi/4 +2kpi
x= -3pi/4 +2k'pi
C'est bon ?
Connaissant la valeur de cos (x), on cherche maintenant le signe de :
4cos3x+2cos2x-2cosx-1 en se tenant compte du cercle ?
Oui. Tu peux maintenant faire un tableau de signes avec une ligne pour chacun de ces trois facteurs et une ligne pour leur produit.
Le deuxième intervalle n'est pas bon.
Vérifie ton tableau de signes, qui paraît incomplet. Chacun des trois facteurs s'annule deux fois dans l'intervalle [0; 2pi[ .
L'intervalle prescrit est [0; 2pi[ . Il ne faut donc pas de valeurs négatives pour x.
Quelles sont les valeurs de x (contenues dans cet intervalle) qui annulent respectivement le premier, le deuxième et le troisième facteur ?
bonjour
j'aimerais savoir si pour résoudre l'inéquation de la question 3 on est obligé de passer par 1 nouveau tableau de signes ou
on peut utiliser le résultat du tableau de signes de la question 1 :
on sait que 4x³+2x²-2x-1<0
x ]-oo;-2/2[U]-1/2;2/2[
merci
@Valparaiso :
Oui, après avoir mis en facteur 4x3+2x²-2x-1, tu fais un tableau de signe pour chaque facteur, puis une dernière ligne pour le signe du produit des 3 facteurs.
Tu en déduiras ainsi l'intervalle des solutions recherchées.
Quelles sont les valeurs de x (contenues dans cet intervalle) qui annulent respectivement le premier, le deuxième et le troisième facteur ?
Ce sont ,pour
(cos (x)+1/2) , 2pi/3 et 4pi/3;
pour (cos (x)+V2/2), pi/4 et 7pi/4 ;
pour (cos (x)-V2/2), 3pi/4 et 5pi/4 ?
C'est juste. Tu peux donc dresser un tableau de signes en plaçant ces six valeurs sur la ligne " x " , au-dessous de laquelle il y aura trois lignes pour le signe des trois facteurs, et une dernière ligne pour le signe de leur produit.
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