J'ai vraiment envie de te balancer un "relis ton cours" ...

Mais vraiment la moindre des choses c'est de lire ton cours avant de venir poser des questions comme celle-ci ...

Un espace propre c'est un ensemble de vecteurs propres et 0.

Et c'est l'espace propre l'espace vectoriel.

L'espace propre associé à une valeur propre est le sous espace vectoriel engendré par les vecteurs propres associés à cette valeur. Les vecteurs propres sont non nuls, le s.e.v. engendré n'en contient pas moins le vecteur nul.

salut

et un peu de réflexxion (connaissant effectivement les définition de son cours) permet de conclure que le vecteur nul est vecteur propre associé à tout(e valeur propre) scalaire ...

puisque pour tout scalaire k

mais si k n'est pas valeur propre alors l'espace propre associé est _{^{qui est un espace vectoriel .... trivial}} ... ce qui n'a guère d'intérêt ....

Bonjour,

@Robot : Il semblerait que ce point de vue ne soit pas partagé par tous les mathématiciens, comme le prouve la définition qu'en donne Monsieur Serge Lang dans sa troisième édition de "Linear Algebra" (définition identique dans son livre "Algebra") :

certes vu la propriété absorbante du vecteur nul par la multiplication par un scalaire on est obligé d'écrire "non nul" dans la définition et pour la recherche des valeurs propres ...

mais à toute valeur propre correspond un ensemble de vecteurs propres qui est un espace vectoriel ... donc contient le vecteur nul ....

et si dans la définition on décide "non nul" c'est bien parce que sinon tout réel serait valeur propre .... ce qui n'apporterait plus rien ....


car quand on recherche une valeur propre a il est évident qu'on cherche un vecteur non nul u tel que Au = au

puisque de toute façon A0 = 0

Pour ma part, j'aurais cependant écrit ceci :

In this case [i.e. ], we say that is the eigenvalue of belonging to the eigenvector .

Parler d'erreur à propos de définition est un non-sens.
Simplement, il y a les définitions utilisées dans l'enseignement français, et les définitions pouvant être utilisées dans d'autres contextes. Dans tous les manuels d'enseignement français que je connais, dans les programmes de classes préparatoires etc., un vecteur propre est par définition non nul.

Dans la tradition anglo-saxonne, c'est plus flou, et l'oubli de "non nul" aboutit à des absurdités comme sur la page wikipedia :

Citation :
The eigenvectors of this transformation satisfy the equation,

Rearrange this equation to obtain

which has a solution only when its determinant equals zero.  

Il semble tout de même que pour la plupart des manuels ou polycopiés anglo-saxons un "eigenvector" est toujours non nul.

Merci encore à "ino" d'avoir soulevé le problème...

Le seul problème qu'il a soulevé c'est qu'il ne connait pas son cours ...

Et puis ino l'a donné la définition :

Bonjour

en fin de compte, la seule chose à relever dans le tout premier post, c'est :

Bonjour,

@Jygz et Lafol : Ma première intervention du 28-07-15 à 15:29 fait directement suite aux interventions de Carpi et Robot respectivement des 28-07-15 à 13:39 et 28-07-15 à 14:01. Tout le problème était de savoir si oui ou non le vecteur nul pouvait être considéré comme vecteur propre (que l'on pourrait nommer "vecteur propre trivial")... Robot, soutenu en cela par de nombreuses références (la majorité), a donné son point de vue. A contrario et avec l'appui des définitions de Monsieur S. Lang et du collectif Bourbaki, j'ai donné le mien. Partant, sans la problématique soulevé par "ino", les interventions de Carpi, Robot et moi-même (susmentionnées) n'auraient jamais existé. Un point, c'est tout ! Il est inutile de s'exciter.

Bonne journée.

Titi

De mon point de vue, au delà des programmes en vigueur actuellement dans l'enseignement supérieur, le vecteur nul n'a rien de "propre", "propre" en matière de valeurs et vecteurs propres étant à rattacher à la propriété et non à la propreté : il est à tout le monde, donc à personne en particulier.

Bon tout le monde est d'accord pour dire que ceux qui sont intéressants sont les non nuls ?

ça y est le ménage est fait donc ... on a remis au propre les définitions de valeurs et vecteurs propres ...

En tout cas pour un auto-didacte comme moi, je remercie Robot

De toute façon Robot le premier que je remercie avec Lafol* aussi ex aequo avec lui ->>> conventions , espace vectoriel

Je remercie aussi Thierry Poma (je ne connaissais pas Monsieur Serge Lang )

évidemment il va de soi que la définition donnée par Lafol & Robot me conviens et je suis d'accord
évidemment ou alors je serai complètement givré id est fou à lier...

* oui effectivement Lafol que je remercie aussi,  elle aussi en premier ---> Définition alternative d'espace affine
car depuis ce mois de novembre 2013 j'ai avancé et jamais j'aurai pu comprendre Robot sur l'autre topic mis en lien sans elle et sa participation dans ce topic là, cette année là  
  

...et quand on dit merci que je sache ...c'est pas avec des pierres
le premier titre de ce lien là c'est pour Robot & Lafol

merci Boninmi

effectivement je vais voir ça et oui pour l'anglais c'est très utile en maths  

sans compter les excellents petits livres publiés chez Belin, je crois, d'entretiens avec des collégiens et lycéens au palais de la découverte