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Posté par
lerital21volume d'un tronc de pyramide 01-01-12 à 13:16

bonjour,

je n'arrive pas mon dm de math je n'ai rien compris aidez moi s'il vous plait merci d'avance:

1/le bac a fleur ABCDEFGH est un tronc de pyramide qui a été former en coupant la pyramide reguliere SABCD par un plans parallèle a sa base.
ABCDetEFGHson deux carrés de centres respectif O et M
On donne:AB=70cm;EF=30cm et OM=60cm
On note h la hauteur SO en cm


             a.Exprimer de deux facons différentes,SM en fonction de h.
             b.En deduire une equation dont h est solution.
             c.Resoudre cette equation afin de trouver la valeur de h
             d.Calculer le volume de ce bac a fleur

2/Voici comment le mathématicien hindou Bhaskara calculait le volume d'un tronc de pyramide au XII eme siecle:

La somme des aire des base et de l'aire d'un rectangle de largueur la somme des largueur des base et de longueurla somme des longueur des base,étant diviser par six puis multiplier par la profondeur donne le volume.

Appliquer cette methode pour calculer le volume du bac a fleur ci-dessus

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Niveau troisième
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volume d'un tronc de pyramide

Posté par
lerital21 01-01-12 à 22:10

bonjour,

je n'arrive pas mon dm de math je n'ai rien compris aidez moi s'il vous plait merci d'avance:

1/le bac a fleur ABCDEFGH est un tronc de pyramide qui a été former en coupant la pyramide reguliere SABCD par un plans parallèle a sa base.
ABCDetEFGHson deux carrés de centres respectif O et M
On donne:AB=70cm;EF=30cm et OM=60cm
On note h la hauteur SO en cm


             a.Exprimer de deux facons différentes,SM en fonction de h.
             b.En deduire une equation dont h est solution.
             c.Resoudre cette equation afin de trouver la valeur de h
             d.Calculer le volume de ce bac a fleur

2/Voici comment le mathématicien hindou Bhaskara calculait le volume d'un tronc de pyramide au XII eme siecle:

La somme des aire des base et de l'aire d'un rectangle de largueur la somme des largueur des base et de longueurla somme des longueur des base,étant diviser par six puis multiplier par la profondeur donne le volume.

Appliquer cette methode pour calculer le volume du bac a fleur ci-dessus

Posté par
Gryfore : volume d'un tronc de pyramide 01-01-12 à 23:44

Bonsoir !

Déjà j'ai fait une figure en bas (ça m'aide).

1ERE PARTIE

SM=h-60

Pour calculer h, il faut utiliser le théorème de Thalès dans le triangle SOA :

\dfrac{SM}{SO}=\dfrac{EM}{AO} \\ \\ \Longleftrightarrow\dfrac{h-60}{h}=\dfrac{EM}{AO}

Mais il nous manque encore trop de données pour résoudre l'équation. pourquoi ai-je choisi EM et AO ? Parce qu'il est possible de les calculer grâce au théorème de Pythagore :

EF^2+FG^2=EG^2 \\ \Longleftrightarrow30^2+30^2=EG^2 \\ \Longleftrightarrow900+900=EG^2 \\ \Longleftrightarrow1800=EG^2 \\ \Longleftrightarrow EG=\sqrt{1800} \\ \Longleftrightarrow EG=\sqrt{900\times2} \\ \Longleftrightarrow EG=30\sqrt{2}

Et on sait que EM est la moitié de EG donc EM=\dfrac{30\sqrt{2}}{2} =15\sqrt{2}

AB^2+BC^2=AC^2 \\ \Longleftrightarrow70^2+70^2=AC^2 \\ \Longleftrightarrow4900+4900=AC^2 \\ \Longleftrightarrow9800=AC^2 \\ \Longleftrightarrow AC=\sqrt{9800} \\ \Longleftrightarrow AC=\sqrt{4900\times2} \\ \Longleftrightarrow AC=70\sqrt{2}

Et on sait que AO est la moitié de AC donc AO=\dfrac{70\sqrt{2}}{2} =35\sqrt{2}

Maintenant qu'on connait EM et AO, on peut reprendre le calcul qu'on avait laissé de côté :

\dfrac{h-60}{h}=\dfrac{EM}{AO} \\ \\ \Longleftrightarrow \dfrac{h-60}{h}=\dfrac{15\sqrt{2}}{35\sqrt{2}} \\ \\ \Longleftrightarrow \dfrac{h-60}{h}=\dfrac{15\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{35\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\ \\ \Longleftrightarrow \dfrac{h-60}{h}=\dfrac{15\times2}{35\times2} \\ \\ \Longleftrightarrow \dfrac{h-60}{h}=\dfrac{30}{70} \\ \\ \Longleftrightarrow \dfrac{h-60}{h}=\dfrac{3}{7} \\ \\ \Longleftrightarrow 7(h-60)=3h \\ \\ \Longleftrightarrow 7h-420-3h=0 \\ \\ \Longleftrightarrow 7h-3h=420 \\ \\ \Longleftrightarrow 4h=420 \\ \\ \Longleftrightarrow h=\dfrac{420}{4} \\ \\ \Longleftrightarrow \boxed{h=105cm}

Voilà. Maintenant il s'agit de calculer le volume du bac à fleurs. Il faut pour cela soustraire le volume de la grande pyramide SABCD avec celui de la petite pyramide SEFGH.

Donc premièrement, calculons le volume de SABCD :

V_{(SABCD)}=\dfrac{A_{(ABCD)}\times h}{3}=\dfrac{70^2\times 105}{3}=\dfrac{4900\times105}{3}=\dfrac{514500}{3}=171500cm^3

Puis le volume de SEFGH :

V_{(SEFGH)}=\dfrac{A_{(EFGH)}\times SM}{3}=\dfrac{30^2\times 105-60}{3}=\dfrac{900\times45}{3}=\dfrac{40500}{3}=13500cm^3

Et enfin on peut calculer le volume de ABCDEFGH :

V_{(ABCDEFGH)}=171500-13500=\boxed{158000cm^3}

2EME PARTIE

Donc les aires des bases : 4900+900=5800cm^2.

Aire du rectangle dont il parle : (30+70)\times(30+70)=100\times100=10000cm^2

Somme de ces deux "trucs" : 5800+10000=15800cm^2

Divisé par 6 et multiplié par la profondeur (hauteur) : \dfrac{15800}{6}\times60=15800\times10=\boxed{158000cm^3}

Ouf ! Je dois te remercier, tu m'as rafraîchi la mémoire à propos des pyramides ! J'ai pris beaucoup de plaisir à te le faire

En espérant ne pas m'être trompé,
à bientôt

volume d\'un tronc de pyramide


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