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Niveau seconde
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loi binomiale

Posté par
ino 16-08-12 à 02:52

Bonsoir
J'aimerais avoir votre aide.

Est-ce qu'une expérience aléatoire à deux issues est forcément une épreuve de Bernoulli ?


Merci d'avance

Posté par
patrice rabillerre : loi binomiale 16-08-12 à 09:08

Bonjour,

Oui : c'est la définition même d'une épreuve de Bernoulli. L'une des 2 issues est appelée "succès", de probabilité p, l'autre "échec" de probabilité 1-p.

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 18:26

Merci pour votre aide

J'ai encore un petit problème je ne comprends pas ces égalités malgré les démonstrations pouvez-vous me donner des exemples afin que je comprenne mieux.
Ne sachant pas écrire avec Latex, je n'ai pas réussi à écrire les égalités, donc je me suis permis d'insérer le fichier, excusez-moi.

loi binomiale

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 18:42

le programme de première ne laisse pas le choix: c'est la seule démonstration possible.
Elle arrive en fin de chapitre. D'où la difficulté d'expliquer sans répéter la même chose.

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 18:46

En fin de chapitre ?

Mais à quoi servent ces égalités ?

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 18:59

k parmi n désigne le nombre de chemins qui donnent k succès (j'y peux rien c'est le nouveau programme !). Or il y a autant de chemins menant à k succès qu'à k échecs cad à n-k succès. Donc le nombre de chemins menant à k succès est le même que le nombre de chemins menant à n-k succès. Ainsi k parmi n est égal à n-k parmi n.

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 19:10

Pourtant ces propriétés sont valables indépendamment de leur application dans le cadre d'épreuves de Bernoulli.
Et leur démonstration ne me semblent pas "innaccesibles"...

C _{n,k} = \frac {n!}{k! (n-k)!}

Donc :

C _{n,k} = \frac {n!}{(n-k)! (n-(n-k))!}

Donc :

\boxed {  C _{n,k} = C _{n,n-k}  }

Exemple :

C _{7,2}  =  \frac {7!}{2! 5!}  =  \frac {7!}{5! 2!}  =  C _{7,5}

C _{7,2} =  C _{7,5}  =  \frac {7.6.5.4.3.2.1}{(2.1)(5.4.3.2.1)}  =  21

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 19:21

Elémentaire mon cher LeDino mais totalement hors programme.
Il faut abandonner dorénavant ces formules au lycée.

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 19:26

La deuxième propriété est plus "corsée" :

C _{n-1,k-1} = \frac {(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}

C _{n-1,k}   = \frac {(n-1)!}{(k)! (n-k-1)!}

Donc :

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {(n-1)!}{(k-1)! (n-k)!}  + \frac {(n-1)!}{(k)! (n-k-1)!}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {k(n-1)!}{k(k-1)! (n-k)!}  + \frac {(n-1)!(n-k)}{(k)! (n-k-1)!(n-k)}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {k(n-1)!}{(k)! (n-k)!}  + \frac {(n-1)!(n-k)}{(k)! (n-k)!}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {k(n-1)! + (n-1)!(n-k)}{(k)! (n-k)!}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {(n-1)!(k+n-k)}{(k)! (n-k)!}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {(n-1)!(n)}{(k)! (n-k)!}

C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = \frac {(n)!}{(k)! (n-k)!}

Et donc :

\boxed {  C _{n-1,k-1} + C _{n-1,k}  = C _{n,k}  }

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 19:31

Pour le coup c'est beaucoup plus simple avec la nouvelle définition de k parmi n.  
la démonstration ensembliste n'est pas envisageable non plus.

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 19:33

Citation :
Elémentaire mon cher LeDino mais totalement hors programme.
Il faut abandonner dorénavant ces formules au lycée.

OK, dans ce cas, a-t-on au moins le droit à la définition des C n,k ?
Ou bien est-on limité à leur calcul par un tableur ou une calculette ?

Parce que si on a droit aux définitions avec les factorielles, alors de simples exemples permettent de comprendre :

Exemple :

C _{7,2}  =  \frac {7!}{2! 5!}  =  \frac {7!}{5! 2!}  =  C _{7,5}

C _{7,2} =  C _{7,5}  =  \frac {7.6.5.4.3.2.1}{(2.1)(5.4.3.2.1)}  =  21


Exemple :

C _{5,3}  =  \frac {5!}{3! 2!}  =  \frac {5!}{2! 3!}  =  C _{5,2}

C _{5,3} =  C _{5,2}  =  \frac {5.4.3.2.1}{(3.2.1)(2.1)}  =  10

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 19:44

k parmi n désigne le nombre de chemins menant à k succès dans un schéma de Bernouilli à n répétitions. C'est tout. Pas d'écritures avec des factorielles sauf peut-être en approfondissement en terminale mais je ne crois pas. Du coup le calcul se fait à la calculatrice.

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 19:49

Merci de votre intervention

Que signifie les "!" ?
Au cours de mon année de seconde, je n'ai pas vu cette notation :s

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 19:54

n! se lit "n factoriel" ou encore "factoriel n".

n! est le produit de tous les entiers positifs qui lui sont inférieurs ou égaux.

Par convention : 0! = 1

Puis :

1! = 1
2! = 2
3! = 2.3 = 6
4! = 2.3.4 = 24
5! = 2.3.4.5 = 120
6! = 2.3.4.5.6 = 720

Etc...
(n+1)! = (n+1)*n!

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 19:55

Mais fais gaffe !
C'est "interdit" ...

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 20:11

Merci encore à vous.

Mais à quoi servent ces égalités ? Honnêtement je ne vois pas le rapport avec la loi Bernoulli ?

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 20:12

En seconde on se demande s'il ne faut pas aborder la factorielle ainsi:

Factorielle(n):={
  local A,k;
  A:=1
  pour k de 1 jusque n faire
    A:=A*k
  fpour
  retourne A
}

ou bien ainsi:

Factorielle(n):={
  si n<2 alors 1 sinon
    n*Factorielle(n-1)
  fsi
}

The Times They Are a-Changin'

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 20:17

"Mais à quoi servent ces égalités ?"
En première à définir la loi de probabilité de la variable binomiale et à construire le triangle de Pascal.

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 20:42

Citation :
En première à définir la loi de probabilité de la variable binomiale et à construire le triangle de Pascal.


Pouvez-vous me donner un exemple svp où il s'agit de construire le triangle de Pascal en utilisant ces formules ?

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 21:51

en principe après la seconde propriété dite formule de Pascal on montre comment cette formule génère les k parmi n aussi appelés coefficients binomiaux. C'est étonnant que dans ton cours tu ne trouves pas ce fameux triangle de Pascal.

Posté par
inore : loi binomiale 16-08-12 à 22:36

Si je le trouve, mais je ne vois pas où les formules interviennent.

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 22:42

une illustration ici

Posté par
LeDinore : loi binomiale 16-08-12 à 22:59

Citation :
Mais à quoi servent ces égalités ? Honnêtement je ne vois pas le rapport avec la loi Bernoulli ?

Tu n'as pas complétement tort :
Apparemment, on se sert de Bernoulli pour prouver ces égalités (voir explications d'alb12).
Mais ces égalités ne servent pas vraiment en probabilité...

Elles servent dans bien d'autres domaines, que tu aborderas plus tard...
Par exemple peut-être as-tu vu la formule de (a+b)n ?
Elle utilise les C n,k (coefficients du triangle de Pascal).

Posté par
alb12re : loi binomiale 16-08-12 à 23:07

Disparue également la formule du binôme !
La notation avec C n'est plus utilisée (pas assez internationale) uniquement \binom{n}{k}

Posté par
inore : loi binomiale 17-08-12 à 00:11

Merci grâce à vous j'ai compris, merci.

Posté par
inore : loi binomiale 17-08-12 à 01:49

Juste une dernière question.


Donc si j'ai bien compris, dans le chapitre "loi Bernoulli et loi binomiale", la variable aléatoire X donne le nombre de succès ?

Merci

Posté par
alb12re : loi binomiale 17-08-12 à 08:01

Tout à fait.
En résumé:
1/ k parmi n noté \binom{n}{k} désigne le nombre de chemins conduisant à k succès.
2/ En découle la loi de probabilité de la variable binomiale.
3/ En découlent les formules des coefficients binomiaux.
4/ Puis le triangle de Pascal.
C'est tout en Première.
Rien de plus en Terminale mais il est possible en approfondissement de démontrer l'expression avec les factorielles par récurrence.

Posté par
mathafou Moderateurre : loi binomiale 17-08-12 à 09:55

Bonjour,

je propose la nouvelle définition de :

le nombre est défini comme étant (6/P) où P est la probabilité que deux nombres tirés au hasard n'aient aucun diviseur commun.

Toute référence à un quelconque cercle est désormais interdite
Le lien avec les cercles peut être fait en travaux dirigés par l'intermédiaire de l'expérience de l'aiguille de Buffon.

Posté par
LeDinore : loi binomiale 17-08-12 à 11:00

Du moment qu'il y a une touche sur la calculette ...

C'est quand même vrai que ce souci d'allègement soulève probablement plus de questions qu'il n'en résout.
Allèger n'est pas toujours simplifier...

Je crois que le nivellement par le bas a ses limites : est-il vraiment profitable d'enseigner une combinatoire tronquée à des élèves dont on pense qu'ils ne comprendraient pas les factorielles ?

Est-il légitime de priver des bonnes explications, ceux qui auraient une meilleure compréhension des choses grâce à une vision plus globale ?

Vieux débat je sais... mais le petit arrière goût de gachis n'est pas loin malheureusement...

Posté par
alb12re : loi binomiale 17-08-12 à 12:15

En attendant on va se taper des intervalles de fluctuation, de confiance appris comme des recettes de cuisine ... Lamentable ! Vite une réforme !


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