Bonjour,

je propose une première version

1) Si nous avons donc le discriminant est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble est non vide.
L'implication est fausse.
2) Si , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
3) Si , est alors une racine de .
L'implication est fausse.
4) Comme , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
5) Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes et , avec et comme leur produit est , elles sont donc de signe contraire, nous avons donc
L'implication est vraie.
6) Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple .
L'implication est fausse.
7) Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout .
Si le discriminant est nul, et notons la racine double, le polynôme est alors . De ce fait, pour tout .
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.

Merci

Bonjour alfpfeu
Je te remercie
malou

Bonjour,
juste pour corriger un lapsus : pour le 1) l'implication est vraie car la conclusion est

Bien vu verdurin
Merci d'avoir relu

Voici la deuxième version

1) Si nous avons donc le discriminant est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble est non vide.
L'implication est vraie.
2) Si , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
3) Si , l'équation s'écrit donc est alors une racine de .
L'implication est fausse.
4) Comme , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
5) Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes et , avec et comme leur produit est , elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc
L'implication est vraie.
6) Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple .
L'implication est fausse.
7) Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout .
Si le discriminant est nul, et notons la racine double, le polynôme est alors . De ce fait, pour tout .
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.

Bonjour,
Bon, je vais pinailler un peu
Deux remarques dans 2) :
Pour la lisibilité, je mettrais un "alors" après le "a+b+c = 0".
Ça éviterait de lire 0,1.
Que penser du cas a = c = 1 et b = -2 ? peut-on alors écrire S = {1;1} ?

Bravo en tous cas pour le travail

Bonjour,

Merci d'avoir relu et pour tes remarques.
Je suis géné par tes encouragements, je suis un garçon timide

Quand un ensemble est défini en extension, la plupart du temps on accepte qu'un élément puisse se trouver plusieurs fois. C'est ce que j'ai vu dans 90% des cas, que ce soit en français ou en anglais.
On aura alors par exemple.
C'est le cas dans l'article de wikipedia notamment.

C'est le cas de la plupart des cours de MPSI ou de L1, j'imagine.
Il est vrai que certains auteurs considèrent que dans un ensemble défini en extension, chaque élément ne peut figurer qu'une seule fois dans la liste.
Dans le contexte de cet exo, comme on ne dit rien sur le nombre des solutions dans les questions 2) et 4) je pense que nous pouvons sous entendre une définition en extension qui accepte d'avoir plusieurs fois un même élément.
Sinon, on serait obligé de distinguer le cas ou qui apporte une certaine lourdeur à la rédaction pour un bénéfice limité.

Voici la troisième et dernière (je pense) version

1) Si nous avons donc le discriminant est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble est non vide.
L'implication est vraie.
2) Si , donc est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
3) Si , l'équation s'écrit donc est alors une racine de .
L'implication est fausse.
4) Comme , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien .
L'implication est vraie.
5) Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes et , avec et comme leur produit est , elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc
L'implication est vraie.
6) Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple .
L'implication est fausse.
7) Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout .
Si le discriminant est nul, et notons la racine double, le polynôme est alors . De ce fait, pour tout .
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.

Je suis finalement un garçon influençable, faible et dépourvu de caractère.

Ci dessous se trouve une autre version pour prendre en compte la remarque de Sylvieg

1) Si nous avons donc le discriminant est strictement positif et il existe deux solutions distinctes, donc l'ensemble est non vide.
L'implication est vraie.
2) Si , donc est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien , qui est réduit à un seul élément dans le cas où .
L'implication est vraie.
3) Si , l'équation s'écrit donc est alors une racine de .
L'implication est fausse.
4) Comme , est une racine de , et comme le produit des racines est , nous avons bien , qui est réduit à un seul élément dans le cas où .
L'implication est vraie.
5) Comme le discriminant est strictement positif, il existe deux racines distinctes et , avec et comme leur produit est , elles sont donc non nulles et de signe contraire, nous avons donc
L'implication est vraie.
6) Le discriminant strictement négatif nous assure que le polynôme est de signe constant mais il peut être négatif. Par exemple .
L'implication est fausse.
7) Si le discriminant est strictement négatif, le polynôme est de signe constant, donc pour tout .
Si le discriminant est nul, et notons la racine double, le polynôme est alors . De ce fait, pour tout .
Par contraposée, nous venons de montrer l'implication demandée.
L'implication est vraie.

Merci

Tu es un garçon qui a l'intelligence d'accepter les remarques de personnes qui n'ont pas eu le courage de s'atteler au travail que tu as effectué.
Et qui réussit à en tenir compte sans alourdir la réponse

Merci à tous !

J'ai mis en ligne tellement de bacs ces temps derniers que je fais une petite pause...qui plus est je suis sensée être en vacances
Je mets tout ça en ligne prochainement
Encore merci pour cette jolie rédaction aboutie.

Bonsoir,
Voilà le travail
Une erreur de recopie est toujours possible
Un peu de logique autour des équations du second degré

Je n'ai pas vu d'erreur dans le corrigé.
Merci à alfpfeu et à malou.

Merci pour ta relecture verdurin

Pour la 6), j'aurais plus simplement donné l'exemple de , dont on voit tout de suite et sans aucun calcul qu'il est strictement négatif.

Pour la 7), je ne sais pas si c'est encore au programme de première, mais j'aurais directement fait appel à la continuité de P et au TVI pour dire que P s'annule, donc que .
Avant d'ajouter que ne peut pas être nul, parce que cela ferait de P un polynôme de signe constant ; ce qui en en contradiction avec l'existence de deux points où P prend des signes opposés.

Bonjour Ulmiere
je prends l'idée pour la 6) mais pas pour la 7) (continuité en 1re faut pas y compter )

Bonjour,

Quand la question avait ete posee, j avais suggere d utiliser le TVI aussi, mais cela n avait pas ete vue dans son cours de Premiere.

Effectivement pour la 6) c est beaucoup plus directe.

Pour les questions ou 1 et -1 sont rqcines, je me demande s il ne faudrait pas rajouter explicitement que  P(1)=0 et P(-1)=0.
Quelqu un qui a regarde l exo recemment n avait pas trouver cela evident.

Merci

oui, on peut, je viens de le faire
merci alfpfeu