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racine cinquièmes de l'unité

Posté par
maxos 28-09-13 à 15:59

Bonjour, je dois trouver les racines cinquièmes de l'unité, mais je n'y arrive pas:
voilà ce que j'ai fais:
z^5=1 (z-1)(z^4+z^3+z²+z+1)=0
donc z=1, en revanche je ne trouve pas pour l'autre terme ...
merci

Posté par
Bachstelzere : racine cinquièmes de l'unité 28-09-13 à 16:04

Les racines n-èmes de l'unité (dans \mathbf{C}) sont les (e^{2i\pi/n})^k, k = 0, \dots, n-1.

Posté par
maxosre : racine cinquièmes de l'unité 28-09-13 à 16:22

merci, mais pourquoi je ne trouve pas avec mon résultat, alors que j'ai trouvé les racines 3eme,4eme de l'unité avec cette méthode
merci

Posté par
carpediemre : racine cinquièmes de l'unité 28-09-13 à 16:25

salut

on peut pour le deuxième facteur : il suffit de reconnaitre un polynome symétrique

on pose alors x = z + 1/z   (calcule x2)

on factorise alors par z2 ... en remarquant que 0 n'est pas racine ....

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:11

Méthode qui marche tout le temps, tu mets 1 sous la forme e^{i\pi}

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:13

z^5=e^{i\pi} \\ \exists k\in{0...4}, z=e^{\frac{ik\pi}{5}

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:15

Pardonnez mon énorme erreur, remplacez 1 par e^{i2\pi}

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:17

D'où on trouve que l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité est

{z\in\mathbb{C},\exists k\in {1,...,n-1},z=e^{i\frac{2k\pi}{n}}}

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:18

1...n

Posté par
Bachstelzere : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 18:19

... ce qui est exactement ce que j'ai dit dans la première réponse à ce fil.

Posté par
carpediemre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 20:58

évidemment dans C les racines n-ième de l'unité s'obtiennent facilement  en passant par la notation exponentielle ....

Citation :
merci, mais pourquoi je ne trouve pas avec mon résultat, alors que j'ai trouvé les racines 3eme,4eme de l'unité avec cette méthode
merci


je t'ai offert le moyen d'y arriver .....

Posté par
Taupiinre : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 21:01

Il fallait préciser alors !

Mais sinon c'est tellement plus rapide de le faire dans \mathbb{C} et de ne choisir que ceux dont l'argument congrue 0 modulo pi

Posté par
Bachstelzere : racine cinquièmes de l'unité 29-09-13 à 21:20

Citation :
merci, mais pourquoi je ne trouve pas avec mon résultat,


C'est quoi, "mon résultat" ? Tu n'as rien fait du tout !


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