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Racines n-ièmes

Posté par
sna00 30-09-13 à 17:33

Salut à tous,

Je ne comprends pas la définition suivante :

"Soit n, a, on dit que est une racine n-ième de l'unité lorsque ^n=1"

Concrètement, ça veut dire quoi ça ?

Merci à vous,
Sna00

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes 30-09-13 à 17:36

salut

ben ça veut dire exactement ce que ça veut dire ....

2 est une racine quatrième de 16 car 24 = 16 ......

Posté par Profil mbengueyre : Racines n-ièmes 30-09-13 à 17:36

bonjour
à la place de a c'est

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 17:43

@mbenguey : exact, sorry
@carpediem : mais ça ne fait pas 1...?

Posté par
ThierryPomare : Racines n-ièmes 30-09-13 à 17:57

Bonjour,

Par exemple, \omega_0=1, \omega_1=\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right), \omega_2=\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right), \omega_3=\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}\right) et \omega_4=\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}\right) appartiennent à \C et sont bien des racines cinquième de l'unité. Je te laisse vérifier !

Thierry

Posté par Profil mbengueyre : Racines n-ièmes 30-09-13 à 17:59

une racine n-ième de l'unité est  une racine n-ième de 1
2 est une racine quatrième de 16 car 24 = 16
est une  racine n-ième de 1 veut dire n=1
C'est à dire le produit de n facteurs égaux à donne 1

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:02

D'accord merci à vous, je pense avoir compris !

Posté par
GaBuZoMeure : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:07

-1 est une racine carrée de l'unité : (-1)^2=1
i est une racine quatrième de l'unité : i^4=1

\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{i}{\sqrt{2}} est une racine huitième de l'unité (calcule la puissance huitième - commence par le carré).

\dfrac{1}{2}+ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,i=\cos(2\pi/3)+i\,\sin(2\pi/3)=e^{2i\pi/3} est une racine sixième de l'unité.

e^{2ik\pi/n} (où k et n sont entiers) est une racine n-ème de l'unité : (e^{2ik\pi/n})^n=e^{2ik\pi}=(e^{2i\pi})^k= 1^k=1

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:08

penser avoir compris ....

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:20

mais que signifie exactement le terme "de l'unité"...? Du mal à saisir... Peut-être ça qui me bloque

Posté par
GaBuZoMeure : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:21

l'unité, c'est tout simplement 1.

Posté par
carpediemre : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:22

ben l'unité c'est 1 !!!

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:35

Mon dieu, je n'arrive pas a comprendre cette définition

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:36

Par exemple, sqrt(2)^2=2, donc c'est une racine non ?

Posté par
GaBuZoMeure : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:39

Tu es un peu dur à la détente !

Une racine n-ème de a, c'est un nombre z tel que z^n=a

L'unité, c'est 1.

Une racine n-ème de l'unité, c'est une racine n-ème de 1, c.-à-d. un nombre z tel que z^n=1

Posté par
ThierryPomare : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:43

Suite à ton message du 30-09-13 à 18:36 : \sqrt{2} est bien une racine carrée de 2, tout comme -\sqrt{2} (Enfin, tout dépend dans quel ensemble tu travailles ! Ici, je suppose que c'est \R.)

Thierry

Posté par
LeDinore : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:45

Citation :
Mon dieu, je n'arrive pas a comprendre cette définition...
Puisque "Dieu" s'invite dans la discussion...

Les racines troisièmes de l'unité sont 1, j et j².
Qui constituent donc la "trinité" dont "l'unité" est le fruit.
C'est plus clair là ?

Posté par
ThierryPomare : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:50

Bonjour LeDino,

Tout dépend de l'identité (sic) du "dieu" de san00.

Thierry

Posté par
LeDinore : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:53

Ici il s'agit manifestement de la variante universelle du "Dieu-de-miséricorde-de-l'apprenti-matheux-en-détresse" ...

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 18:59

Bon ça commence à rentrer

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 19:02

Merci pour votre aide

Posté par
ThierryPomare : Racines n-ièmes 30-09-13 à 19:06

Eh bien, pour vérifier, quelles sont toutes les racines cinquièmes de 7 ?

Thierry

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 20:39

Il faut se servir de la racine n-ième de l'unité ?

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 20:43

C'est 7^(1/5), non?

Posté par
GaBuZoMeure : Racines n-ièmes 30-09-13 à 21:19

Bon, Thierry, puisque tu as voulu continuer, à toi de faire le service après-vente.

Posté par
ThierryPomare : Racines n-ièmes 30-09-13 à 21:35

Ok, GaBuZoMeu.

L'on aura soin de remarquer que Sna00 n'était vraiment pas très loin de la solution.

@Sna00 : Sérieusement, je te demandais toutes les racines cinquièmes de 7, savoir : \omega_0=\sqrt[5]{7}, \omega_1=\exp\left(\dfrac{2\,i\,\pi}{5}\right)\,\sqrt[5]{7}, \omega_2=\exp\left(\dfrac{4\,i\,\pi}{5}\right)\,\sqrt[5]{7}, \omega_3=\exp\left(\dfrac{6\,i\,\pi}{5}\right)\,\sqrt[5]{7} et \omega_4=\exp\left(\dfrac{8\,i\,\pi}{5}\right)\,\sqrt[5]{7}. Ce sont là toutes les racines dans \C du polynôme P={\bf X}^5-7, où {\bf X} est une indéterminée. Je laisse GaBuZoMeu apporter sa touche personnelle à ce qui précède, car je suis fatigué.

Thierry

Posté par
sna00re : Racines n-ièmes 30-09-13 à 22:51

Ahhhh ok ! Et c'est toujours de la même manière ??

Donc les racines quatrièmes de 101 c'est sqrt^4(101), puis exp(2i*pi/4)*sqrt^4(101), etc... ??

ps: désolé je n'arrive pas à mettre mes formules sous forme d'image... :/

Posté par
LeDinore : Racines n-ièmes 30-09-13 à 23:19

Il y a 'n' racines n-ièmes de l'unité dans C :

\\ U_{0} = 1 \\ U_{1} = e^{\frac{2\pi}{n}i} \\ U_{2} = U_{1} ^2 = e^{2\frac{2\pi}{n}i} \\ ... \\ U_{k} = U_{1} ^k = e^{k\frac{2\pi}{n}i} \\ ... \\ U_{n-1} = U_{1} ^{n-1} = e^{(n-1)\frac{2\pi}{n}i} \\

Autrement dit :   \boxed {  U_{k} = e^{k\frac{2\pi}{n}i}  }    (k=0,n-1)

Par extension, il y a 'n' racines n-ième dans C, pour tout réel X > 0 :

\boxed {  X_{k} = X^{\frac{1}{n}}.e^{k\frac{2\pi}{n}i}  }    (k=0,n-1)


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