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Niveau Maths sup
Racines cinquième de l'unité
Posté par max29ms
Bonjour,
Je tente de résoudre de deux façons l'équation suivante:
(E) : (1+iz)5=(1-iz)5
J'ai résolu d'une première façon en développant puis laDeuxième façon consiste a diviser par le membre de droite et demutualiser la puissance a gauche pour obtenir ((1+iz)/(1-iz))5=1 ce qui revient à chercher z de manière a ce que le terme de gauche sans la puissance soit une racine cinquième de l'unité. Je sais que 0 est une solution évidente mais je ne sais ensuite pas comment procéder.
Merci
Maxime
Bonjour,
Tu auras soin de noter que l'on ne divise pas les deux membres d'une égalité par une quantité sans avoir pris certaines précautions. Lesquelles ? D'autre part, en écrivant que ,
appartenant à
, il me semble que le résultat est immédiat.
Thierry
En effet j'ai oublié de préciser que (1-iz)5 était différents de 0 car (1-iz) différent de 0.
J'ai en effet écrit que 1=exp(2ik
) avec k
[0,4] k entier. mais c'est unepartie des complexes que je ne comprends pas bien et je ne vois pas du tout pourquoi le résultat est immédiat....
Désolé 
Maxime
Pas de problème de compréhension pour ce que vous avez écrit. De plus je connais le résultat, qui me parait un peu compliqqué pour être immédiat.
La où je ne comprends pas c'est comment on fait pour trouver z a partir de : (1+iz)/(1-iz)= exp((2ik)/5) k{0,1,2,3,4}...
Merci de votre aide
Maxime
Oups je viens peut être de comprendre, en remplaçant k par 0,1,2,3,4 on obtiendra la forme exponentielle de nombre qui seront les racines cinquièmes ? 
Euh, non j'ai rien dit, je ne comprends vraiment pas...
Mais les équations je ne voit pas d'où on les tire.. je me dote bien qu'on en a 5 mais je ne sais pas d'où le tirer...
Tu tiendras compte de l'astuce de Carpediem que je salue au passage. Sinon, c'est simple. L'on doit trouver complexe distinct de
tel que
où . Peux-tu résoudre
?
En remplaçant k par 0,1,2,3,4 je résoud (1) ? a part en recherchant la forme algébrique du terme de droite, je ne vois pas comment faire..
Dans un premier temps, peux-tu te concentrer sur l'essentiel ? La forme algébrique est vraiment secondaire, non ?
Bonjour,
Si z est complexe dans l'expression donnée, iz est une complication
inutile ,posons u=iz ,
k entier
...
pour répondre à la question revenir à z,
Alain
Oui c'est ce que j'essaye de faire depuis 13h30... mais je ne comprends pas comment on résout :
(i-z)/(i+z)=exp((2ik)/5),k{0,1,2,3,4}....
(1+iz)5=(1-iz)5 [E]
Tout d'abord, on remarque que si z est solution de [E], z est distinct de -i.
En effet, si on substitue z par -i dans le membre de gauche on obtient (1-i2)5 = 25 tandis que le membre de droite est nul, il n'est donc pas égal à 25
Ainsi [E] a même ensemble des solutions que l'équation
[ (1+iz)/(1-iz) ]5 = 1 [E']
z est solution de [E'] si, et seulement si, le nombre (1+iz)/(1-iz) est une racine cinquième de l'unité.
[E'] ⟺ (1+iz)/(1-iz) = exp( 2ik∏/5) , k ∈ [0,4]
Posons w(k) = exp( 2ik∏/5) pour k ∈ [0,4]
[E'] ⟺ (1+iz) = w(k) ( 1-iz) , k ∈ [0,4]
⟺ i ( 1+w(k) ) z = w(k) - 1 , k ∈ [0,4]
pour k ∈ [0,4], w(k) est différent de -1 donc 1+w(k) est non-nul. Dès lors :
[E'] ⟺ z = -i ( w(k) - 1 )/( 1+w(k) ) , k ∈ [0,4]
Il s'agit maintenant de simplifier ce quotient :
w(k) - 1 = exp(2ik∏/5) - 1 = ( exp (ik∏/5) - exp(-ik∏/5) ) × exp (ik∏/5)
= 2i sin(k∏/5) exp ( ik∏/5)
1+w(k) = exp(2ik∏/5) + 1 = ( exp (ik∏/5) + exp(-ik∏/5) ) × exp (ik∏/5)
= 2 cos(k∏/5) exp ( ik∏/5)
Ainsi après simplification par exp (ik∏/5), on obtient :
z = -i sin(k∏/5) / cos (k∏/5) = -i tan(k∏/5), k ∈ [0,4]
BILAN :
L'équation [E] possède une racine réelle et quatre racines imaginaires pures :
z0 = 0
z1 = -i tan(∏/5)
z2 = -i tan(2∏/5)
z3 = -i tan(3∏/5) = -i tan(∏-2∏/5) = i tan(2∏/5)
z4 = -i tan(4∏/5) = -i tan(∏ - ∏/5) = i tan(∏/5)
Ces cinq racines sont deux à deux distinctes.
On constate a fortiori que si z est solution, - z aussi. Rassurant, non ?
et il continue le bougre....
ce n'est pas "à fortiori" mais "à postériori" ...
ce qui se voyait à priori dès la lecture de l'énoncé ....
ERRATUM
Je suis allé trop vite. J'ai oublié le facteur i qu'il y avait devant z. Il faut dire que c'est écrit tellement petit.
On obtient après simplifications :
z = -i × i sin (k∏/5) / cos(k∏/5) = tan(k∏/5)
Les racines sont toutes réelles (ce qui est maintenant évident dès le départ) et deux à deux distinces, se sont :
0 , ±tan(∏/5) , ± tan(2∏/5)
@Iciparisonzieme : L'usage de l'outil "TOUJOURS" suggère que tu sévissais ici sous un autre pseudo.
Thierry