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dl

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khalid276 05-05-24 à 00:32

Bonjour, je viens à vous car j'ai du mal à faire le DL de ln(cos(x)) en 0 à l'ordre 6.  Voici ce que j'ai fais;

J'ai fais le DL de cos(x) = 1-\frac{x²}{2}+ \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} + \varepsilon (x^{6})

Puis j'ai fais le DL de ln(x+1) à l'ordre 3 car après on dépasse la puissance 6 = X-\frac{X²}{2}+ \frac{X^{3}}{3}+ \varepsilon (x^{3})[/tex]

Puis j'ai remplacé X par le DL de cos(x) en simplifiant les termes supérieur à l'ordre 6 = (-\frac{x²}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720})-\frac{x^{4}}{8}+ \frac{x^{6}}{24}+ \varepsilon (x^{3})[/tex]

Ce qui me donne en regroupant les termes : -\frac{x²}{2}-\frac{x^{4}}{12}+\frac{29x^{6}}{720}+ \varepsilon (x^{6})[/tex]

Cependant cela ne correspond pas à la correction mais je ne comprend pas où j'ai fais l'erreur.
De plus j'ai une autre question pourquoi on remplace X par -[tex]\frac{x²}{2}+ \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} et non pas par1-[tex]\frac{x²}{2}+ \frac{x^{4}}{24} - \frac{x^{6}}{720} pourquoi on enlève le 1 ?

Merci  

Posté par
Ulmierere : dl 05-05-24 à 00:58

Ton message n'est pas lisible et la question que tu poses est probablement la source de ton erreur.
Le DL de ln que tu essaies d'utiliser est valable quand x est proche de 0, alors que cos(x) tend vers 1 lorsque x tend vers 0.
Si on pose y = cos(x)-1 alors effectivement ln(cos(x)) = ln(y+1) et tu peux faire ton calcul mais en n'oubliant pas de retirer 1.

Ceci étant, as tu essayé de dériver ln(cos) ?
Ca plus le fait qu'il est possible d'intégrer un DL, plus faire attention au signe du cos qui est bien positif au voisinage de 0

Posté par
larrechre : dl 05-05-24 à 09:50

Bonjour,

Si j'ai bien compris (je n'écris pas les o(..) ), tu poses X=-x2/2+x4/24-x6/720, puis tu développes ln(1+X) au voisinage de 0.

Alors 1ère erreur, le X2 te donnes un x6/48 et non x6/24.

Seconde erreur, le X3 donne aussi un terme en x6 que tu oublies, à savoir -x6/24

En reprenant cela tu vas trouver le terme correct en x6

Posté par
larrechre : dl 05-05-24 à 10:22

Il reste, soyons modeste, que la méthode par dérivation proposée par ulmiere est nettement plus élégante

Posté par
khalid276re : dl 05-05-24 à 15:27

Bonjour merci pour votre réponse,

Cependant je ne comprend pas comment on obtient x6/48

car voici ce que j'obtiens avant de simplifier : (--\frac{x²}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}- \frac{1}{2}*(\frac{-x²}{2})^{2}+\frac{1}{3} *(\frac{-x²}{2})^{3} + o(x6)
ce qui me donne:  -\frac{x²}{2}+\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{6}}{720}- \frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{24} +o(x6)

et quand je simplifie j'obtiens finalement: -\frac{x²}{2}-\frac{x^{4}}{12}-\frac{31x^{6}}{720} ce qui faut car je dois trouver 1/45 x6

Je sais que j'ai mal développé les x6, j'ai trouvé une vidéo sur ytb de quelqu'un qui résout le même pb que moi, et elle obtiens ceci: -(-\frac{x²}{2}+ \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{720})-\frac{1}{2}(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{6}}{24}) +\frac{1}{3}(\frac{-x^{6}}{8}) + o(x6)

Et en simplifiant elle obtient le bon résultat, cependant je ne comprend d'où vient son -x6/24 ?

Posté par
khalid276re : dl 05-05-24 à 15:30

Ulmiere @ 05-05-2024 à 00:58

Ton message n'est pas lisible et la question que tu poses est probablement la source de ton erreur.
Le DL de ln que tu essaies d'utiliser est valable quand x est proche de 0, alors que cos(x) tend vers 1 lorsque x tend vers 0.
Si on pose y = cos(x)-1 alors effectivement ln(cos(x)) = ln(y+1) et tu peux faire ton calcul mais en n'oubliant pas de retirer 1.

Ceci étant, as tu essayé de dériver ln(cos) ?
Ca plus le fait qu'il est possible d'intégrer un DL, plus faire attention au signe du cos qui est bien positif au voisinage de 0


Merci pour votre réponse, j'avais bien retiré 1 de mon calcul, sans trop savoir pourquoi, maintenant j'ai compris pourquoi, cependant je n'obtient pas le bon résultat

Posté par
larrechre : dl 05-05-24 à 19:32

Citation :
je ne comprend d'où vient son -x6/24


Un oubli dans ce que tu écris "avant de simplifier"

(-\dfrac{x²}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}-\dfrac{x^{6}}{720})- \dfrac{1}{2}*(\dfrac{-x²}{2}+\dfrac{x^4}{24})^{2}+\dfrac{1}{3} *(\dfrac{-x²}{2})^{3} + o(x6)

et le terme du milieu donne le terme en x6 que tu cherches (double produit)

Posté par
khalid276re : dl 05-05-24 à 22:29

larrech @ 05-05-2024 à 19:32

Citation :
je ne comprend d'où vient son -x6/24


Un oubli dans ce que tu écris "avant de simplifier"

(-\dfrac{x²}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}-\dfrac{x^{6}}{720})- \dfrac{1}{2}*(\dfrac{-x²}{2}+\dfrac{x^4}{24})^{2}+\dfrac{1}{3} *(\dfrac{-x²}{2})^{3} + o(x6)

et le terme du milieu donne le terme en x6 que tu cherches (double produit)


AHHHHHH ouiiiiiiii mercii j'avais oublié haha

Posté par
larrechre : dl 07-05-24 à 10:04


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